下３桁が８の倍数

下3桁が8の倍数である整数は8の倍数になるというのは、多くの方がご存じだと思いますが、一応説明しておきます。
例えば、1234568という整数を考えます。下３桁568は71×8なので8の倍数です。1234568を1234000+568と考えます。1000は125×8で8の倍数なので、
1234568 =   1234000               +  568
               = 1234×1000             +  568
               = 1234×125×8          +  71×8
            =(1234×125              +  71)×8
となり8の倍数です。これは一例で、証明モドキにすらなりません。

千の位から左側の数×1000　＋　下３桁と考え、下３桁が8の倍数ならば、1000 = 125 × 8 ゆえ
　　千の位から左側の数×125×8（これは8の倍数）  +　8の倍数
　　　　　　　　　8の倍数　　　　　　　　　　　＋   8の倍数   は8の倍数　　といってよいならこれでOKでしょう。
分配法則を用いて、×8で全体をくくるところまでやるのは面倒なのでやめておきます。これが証明モドキでしょうか。

千未満の正の整数が8の倍数であることの見分け方は？　
「8で割ってみろ！」
となるんでしょうね（笑）。３桁の割り算が既に私にはダルいです～☆彡

素人考えなので厳密ではないでしょうが、数学を知っていれば、
千の位から左側の0以上の整数をm、下３桁の整数は8の倍数ゆえ8n（nは0以上の整数）とおく。
　　元の整数　=　1000m + 8n = 8(125m+n)
m, nのおき方より、125m+nは整数なので、元の整数は8×整数となり8の倍数である。

これはm、nを0以上の整数とすることで、千未満の0以上の整数にも対応していると思います

さらに『合同式』の概念を使えば、…　これはまた日を改めて。

倍数であることの見つけ方には面白いものがいくつかありますね。覚えていませんが…

馬脚をあらわさないうちに今日はここまでとします（苦笑）