【デジライズ】ステップアップガシャ(Wピックアップ)の排出確率と消費ルビー期待値【デジモンリアライズ】

契機

ピックアップガシャは排出確率と排出デジモン数(連数)がstep毎に変化する為、確率の計算がやや煩雑になる。

排出確率の変化は過去に以下の記事で算出した。但し、消費ルビーの期待値は算出していなかった。

また、20/5/8よりスタートするステップアップガシャは今までと異なり、確定排出デジモン（勇敢メギドラモン）と別にピックアップされているデジモンが２体いる（ゴッドドラモン/冷静ホーリードラモン）。これにより、確率計算は更に複雑になる。

今回は複数体のピックアップデジモンを狙う場合の排出確率、及び消費ルビー期待値の算出にチャレンジし、導出に成功した。以下に数値を纏めておく。

結論

狙うデジモンのパターンを３つに分けた。貴方の狙いに応じて見分けて頂きたい。
①２体のピックアップのうち１体以上を狙う
（どちらか片方が出た時点で撤退）
②２体のピックアップのうち片方のみを狙う
（例：ゴッドドラが出た時点で撤退、ホリドラが先に出ても続行）
③２体の両方を狙う

それぞれの排出確率（累積）の変化は以下のグラフの通りである。

①２体のピックアップのうち１体以上を狙う
②２体のピックアップのうち片方のみを狙う
③２体の両方を狙う

排出確率５倍！などと聞くと如何にもピックアップが出そうな気がしてしまうが、実際にはstep5以降でも一連当たり1.5%しかないことに注意したい。

さてstep5まで引いたときの確率を見ると、①「どちらか片方が出たら撤退」パターンでさえも、確率は46.34%しかない。

つまりstep5まで引いても、ホリドラもゴッドドラも出ない人が過半数ということである。

③「両方を狙う」パターンの人はstep10まで引いても50%も無い。相当な覚悟が必要だろう。因みに、同じ系譜のデジモンを２体狙う場合もほぼ同じ確率である。

私はエアドラモンとゴッドドラモンを狙っており、今回は相当なルビーの消費を承知の上で臨む予定だ。

次に期待値を見てみよう。

①２体のピックアップのうち１体以上を狙う
②２体のピックアップのうち片方のみを狙う
③２体の両方を狙う

①「片方のみを狙う」パターンの場合でも、平均的にはstep6.5、消費ルビーは約1,000を要する。
③「両方を狙う」パターンに至っては2,235ルビー必要であり、普段のリミテッドガシャ(排出率1%)の消費ルビー1,818を上回る出にくさである。

まとめ

今回は「狙いのパターンが実現するまでガシャを引き続ける」前提で、step数やルビー消費量の期待値を算出した。

勿論、現実的な引き方として「step5の確定まで引いて、ついでにピックアップが当たればラッキー」と言ったパターンも想定される。

計算式：記号定義

まずは記号を定義する。
A, B：デジモン名。排出確率が等しいとき、
　　　特にA=ゴッドドラモン、B=ホーリードラモンとして一般性を失わない。
　 k：Stepの回数を表す。 k=1, 2, 3, …
　Pk：Step k における1連当たりの排出確率。
　　　ここではAとBの排出確率は等しくPkとする。
　　　　P1=0.15%, P2=0.3%, P3=0.51%, P4=0.75%, Pk=1.5% (k>=5)
　Nk：Stepｋにおける連数。
　　　　N1=3, N2=5, N3=7, Nk=11 (k>=4)
　Rk：Step k におけるルビー消費数。
　　　　R1=50, R2=100, R3=150, Rk=200 (k>=4)

計算式：「 ②２体のピックアップのうち片方のみを狙う」の確率

「①２体のピックアップのうち１体以上を狙う」の前に、式が単純である②を先に計算する。ここではデジモンAとデジモンBの排出確率は同じなので、デジモンAを狙うものとして計算しよう。

　Q(A)k：Step k-1 までAが当たっていない、という条件付きで、
　　　　　Step k で初めて1体以上Aが当たる確率

とすると

　Q(A)k = 1 – ( 1- Pk) ^ Nk

また、ガシャを引き始める前（ Step1を引く前）の状態にあるとき、「②２体のピックアップのうち片方のみを狙う」に対し、Step k で1体以上のデジモンAが当たる確率は

　②k = Q(A)1 (k=1のとき）
②k-1 + (1 – ②k-1) Q(A)k (k>=2のとき）

これらを数値計算し、累積確率に変換すれば、上記の値を得る。また、消費ルビーの期待値は

　Σk=1→∞ (Rk × ②k)

計算式：「 ①２体のピックアップのうち１体以上を狙う」の確率

①と同様に計算できる。

　Q(AorB)k：Step k-1 までAもBも当たっていない、という条件付きで、
　　　　　　　Step k で初めて1体以上AまたはBが当たる確率

とすると

　Q(AorB)k = 1 – ( 1- Pk *2) ^ Nk
　①k = Q(AorB)1 (k=1のとき）
①k-1 + (1 – ①k-1) Q(AorB)k (k>=2のとき）

消費ルビーの期待値は

　Σ(k=1→∞) (Rk × ①k)

計算式：「 ③２体の両方を狙う」の確率

実現には２パターンが存在する。
　③-1：Step k-1 までAもBも当たらず、Step k でAとBがそれぞれ1体以上当たる
　③-2：Step j-1 までAもBも当たらず、Step j で初めてAまたはBの片方が1体以上当たり、
　　　　更にStep k (j < k)でもう片方が当たる

まず③-1から求める。

　Q(2枚抜き)k：Step k-1 までAもBも当たっていない、という条件付きで、
　　　　　　　　Step k で初めてAとBがそれぞれ1体以上出る確率
　Q(1枚抜きA)k：Step k-1 までAもBも当たっていない、という条件付きで、
　　　　　　　　Step k で初めてAのみが1体以上出てBは出ない確率
　Q(1枚抜きB)k：Step k-1 までAもBも当たっていない、という条件付きで、
　　　　　　　　Step k で初めてBのみが1体以上出てAは出ない確率
　Q(0枚抜き)k：Step k-1 までAもBも当たっていない、という条件付きで、
　　　　　　　　Step k でもAもBも出ない確率

とすると

　Q(2枚抜き)k = Q(A)k + Q(B)k – Q(AorB)k
　　　　　　 ＝ Q(A)k * 2 – Q(AorB)k
　Q(1枚抜きA)k = Q(A)k – Q(2枚抜き)k
　Q(1枚抜きB)k = Q(B)k – Q(2枚抜き)k
　Q(0枚抜き)k = 1- Q(A)k – Q(B)k + Q(AorB)k

さて、ガシャを引き始める前時点で見て、Step k までにAもBも当たらない確率Ekは

　Ek = Q(0枚抜き)1 × Q(0枚抜き)2 × … × Q(0枚抜き)k

従って、パターン「③-1：Step k-1 までAもBも当たらず、Step k でAとBがそれぞれ1体以上当たる」が生起する確率は

　(③-1)k = E(k-1) × Q(2枚抜き)k

次にパターン「③-2：Step j-1 までAもBも当たらず、Step j で初めてAまたはBの片方が1体以上当たり、更にStep k (j < k)でもう片方が当たる 」の確率を求める。まず前半部分、「Step j-1 までAもBも当たらず、Step j で初めてAまたはBの片方が1体以上当たる」確率Fjは

　Fj = E(j-1)×Q(1枚抜きA)j + E(j-1) × Q(1枚抜きB)j
= E(j-1) × 2×Q(1枚抜きA)j

更にこの後Step k でもう片方が当たる確率、即ち③-2が生起する確率は

　(③-2)k = Σ(j=1 → ∞) { Fj × (1-Q(A)(j+1)) × (1-Q(A)(j+2)) × … × (1-Q(A)(k-1)) ×Q(A)k }

以上の計算結果をまとめて、求める「 ③２体の両方を狙う」の確率を求めると

　③k = (③-1)k + (③-2)k

これから累積確率を求めると、上記の値が出る。消費ルビーの期待値は①②同様

Σk=1→∞ (Rk × ③k)