数学夏祭り 問1

79が素数なので5秒で思考停止しましたが、素数だからこその解決ルートでしたね。合ってるかどうかは2週間後…

1/p ＋ 1/q ＝ r/79
p＋q/pq ＝ r/79
pqr/p＋q ＝ 79
79(p＋q) ＝ pqr

79は素数なのでpまたはqは79の倍数。

(1)pが79の倍数の場合
(79,79,2)
(158,158,1)

(2)qが79の倍数の場合
79(p＋79n) ＝ rp*79n
p＋79n ＝ rpn
p＝nのときp＋79nがpの倍数となるので
80p ＝ rp^2
80 ＝ rp
pは80の約数、r<79なので、
(2,158,40)
(4,316,20)
(5,395,16)
(8,632,10)
(10,790,8)
(16,1264,5)
(20,1580,4)
(40,3160,2)
(80,6320,1)

(1)(2)の結果をpの昇順で並べると、
前から3番目のr＝16
後ろから5番目のq＝1580
なので
q*r＝25280