数学夏祭り 問4

80以下の素数は、{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79}
の22通り。

6以上80以下の偶数nについて、P(n)の分母は2/n。

分子については、p＋q＝nとなる個数。
n≦80については以下の通り。　
1 (n＝6)
2 (n＝8,12)
3 (n＝10,14,38)
4 (n＝16,18,20,28,32,68)
5 (n＝22,26,62)
6 (n＝24,30,40,44,52,56)
7 (n＝34,46)
8 (n＝36,42,50,58,80)
9 (n＝74)
10 (n＝48,54,64,70,76)
12 (n＝60,66,72)
14 (n＝78)

P(n)が最小となるのは分母2/nが最大となる場合なので、 それぞれの分子の値でP(n)を計算すると、

1/3 (n＝6)
1/3 (n＝12)
3/19 (n＝38)
2/17 (n＝68)
5/31 (n＝62)
3/14 (n＝56)
7/23 (n＝46)
1/5 (n＝80)
9/37 (n＝74)
5/19 (n＝76)
1/3 (n＝72)
14/39 (n＝78)

よってP(n)が最小となるのはn＝68のときで、P(68)＝2/17である。

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ちなみに傾向を掴むために最初に手計算したけど、傾向分からず(笑)。紙と鉛筆が使えない寝たきりにしては手計算頑張ったでしょこれ。
P(6) 1/3
P(8) 2/4
P(10) 3/5
P(12) 2/6
P(14) 3/7
P(16) 4/8
P(18) 4/9
P(20) 4/10
P(22) 5/11
P(24) 6/12
…
P(76) 10/38
P(78) 14/39
P(80) 8/40