整数解の数

０＜ｙ≦Ｎを満たす数ｙを
適当に選んだとき、ｙ周辺の数が
平方数である確率（割合）は
１／２√ｙの程度になります。
平方数ｙは
ｙ＝ｘ＾２（＝ｆ（ｘ））
と表されます。
ｆ´（ｘ）＝２ｘ
なので、ｙの周辺では平方数の
間隔が２ｘ＝２√ｙの程度に
開いています。
このことからｙ周辺の数が
平方数である割合は１／２√ｙの
程度であることがわかります。
これを確率モデルとして考えると
０＜ｙ≦Ｎの範囲にある
平方数ｙの数は

①　Σ１／２√ｙ　（１≦ｙ≦Ｎ）

の程度であると期待されます。
①を次のような積分で近似して
みます。

②　∫ｄｙ／２√ｙ
（積分区間は［０，Ｎ］）

②の値は√Ｎとなり、実際の値の
よい近似となります。
より一般に、

③　Ｆ（ｘ，ｙ）＝０

の整数解の数について考えて
みましょう。
ここでＦは既約なＺ係数多項式で、
素数の因数も持たないとします。
（上の平方数の例は
Ｆ＝ｙ－ｘ＾２
のケースにあたります）
ｘが整数値ｘ０をとったとき、③は

④　Ｆ（ｘ０，ｙ）＝０

となります。
この左辺をｇ（ｙ）とおくと、
これは整係数多項式です。
すると④は

⑤　ｇ（ｙ）＝０

となります。
上の平方数の例と同様に考えて、
⑤の解ｙ０が整数である確率は
１／ｇ´（ｙ０）と想定されます。
ｇ´（ｙ０）＝Ｆｙ（ｘ０，ｙ０）
なので、この式は
１／Ｆｙ（ｘ０，ｙ０）
と表せます。ここで、Ｆｙは
ｙによる偏微分∂Ｆ／∂ｙを
表します。
Ｆ（ｘ，ｙ）＝０の陽関数表示を
ｙ＝ｆ（ｘ）とおくと
ｙ０＝ｆ（ｘ０）です。
よってｘの区間［a，ｂ］に
おける整数解の数の期待値は

⑥　Σ１／Ｆｙ（ｘ，ｆ（ｘ））
（a≦ｘ≦ｂについての和）

となります。
⑥は次のような積分で近似
されます。

⑦　∫ｄｘ／Ｆｙ（ｘ，ｆ（ｘ））
（積分区間は［a，ｂ］）

これも一つの近似式ですが、
③が多価関数であった場合は
分枝ごとに分け直して考える
必要が出てきます。
そこでｘではなく、③の解曲線C上
での積分で表してみましょう。
C上ではF（ｘ，ｙ）＝０なので、
微分を考えると

⑧　Ｆｘｄｘ＋Ｆｙｄｙ＝０

となります。
ここでＦｘ，Ｆｙはそれぞれ
ｘ，ｙに関する偏微分を表します。
⑧より

⑨　ｄｙ／ｄｘ ＝ －Ｆｘ／Ｆｙ

また、Ｃの線素をｄｓとおくと

⑩　ｄｘ／ｄｓ
　　＝１／√［１＋（ｄｙ／ｄｘ）＾２］
　　＝１／√［１＋（Ｆｘ／Ｆｙ）＾２］

となります。
⑨，⑩より

ｄｘ／Ｆｙ（ｘ，ｆ（ｘ））
　＝ｄｓ・（ｄｘ／ｄｓ）／Ｆｙ（ｘ，ｙ）
　＝ ｄｓ／（Ｆｙ・√［１＋（Ｆｘ／Ｆｙ）＾２］）
　＝ ｄｓ／√（Ｆｘ＾２＋Ｆｙ＾２）

よってＣ´を解曲線Ｃの一部分
とすると、Ｃ´上にある整数点の
個数の期待値は

⑪　∫ｄｓ／√（Ｆｘ＾２＋Ｆｙ＾２）
（Ｃ´上の積分）

となります。
３変数以上の場合も同様です。
たとえばＦ（ｘ，ｙ，ｚ）を
既約な整数係数多項式
（素数の因数も持たない）とすると
曲面Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０の
適当な領域Ｄ上にある整数点の
個数の期待値は

⑫　∫ｄｓ／√（Ｆｘ＾２＋Ｆｙ＾２＋Ｆｚ＾２）
（Ｄ上の積分）

となります。ここでｄｓは面積素，
またFｘ，Ｆｙ，Ｆｚはそれぞれ
ｘ，ｙ，ｚについての偏微分を
表します。
⑪，⑫はあくまで確率的な
期待値であって、実際の値に
符合するとは限りませんが、

Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ－ｈ（ｘ）
あるいは
Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｚ－ｈ（ｙ，ｚ）

のような形の関数の場合は
よい近似となります。
しかし期待値と実際の値が
大きく異なるケースもあります。
次回はその例として、
フェルマーの大定理のケースを
取り上げようと思います。
（つづく）