フェルマーの最終定理の確率解析

フェルマーの最終定理（FLT）は
次のような命題です。

「ｎを３以上の自然数とするとき、
整数ｘ，ｙ，ｚが
ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎ＝ｚ＾ｎ
を満たすならばｘｙｚ＝０である」

言い換えれば、
いずれも０でない整数ｘ，ｙ，ｚで、
上の式を満たすものは
存在しないということです。

ｎが大きければ感覚的にもそうした
例がなかなか存在しないだろうと
予想されますが、小さい値なら
反例（すなわち非自明な整数解）が
あっても不思議はなさそうに思えます。
確率的にはどうなのか。
まず、方程式

①　ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎ－ｚ＾ｎ＝０

はｘｙｚ座標空間内の
曲面Ｍ（ｎ）を定めます。
左辺をＦ（ｘ，ｙ，ｚ）と
おきましょう。
曲面Ｍ（ｎ）の部分領域Ｍ´内にある
整数点の個数をＮ（Ｍ´）とおくと、
その期待値E（Ｍ´）は次の積分で
表されます。（前記事を参照）

②　E（M´）＝
∫ｄＳ／√（Ｆｘ＾２＋Ｆｙ＾２＋Ｆｚ＾２）
（曲面Ｍ´上の積分。ｄＳはその面積素）

非自明な解を考えるならば
ｘｙｚ＝０の領域を除いて積分
することになりますが、この領域は
３平面の合併となり、
そのまま取り除くだけでは
積分値に影響しません。
そこで除外する領域に厚みを
もたせたいのですが、
厚みとしては１が妥当なところ
だと思います。これは、
格子点ｄ＝（ｐ，ｑ，ｒ）に対し、
その代表領域Ｒ（ｄ）を

ｐ－１／２＜ｘ≦ｐ＋１／２，
ｑ－１／２＜ｙ≦ｑ＋１／２，
ｒ－１／２＜ｚ≦ｒ＋１／２

で与えられる区域と考えれば
自然に出てきます。すなわち
ｄを中心とする辺長１の立方体です。

すると積分の対象となる領域Ｄは

ｘ，ｙ，ｚ∈(－∞，－１／２］∪（１／２，∞］

となります。
原点を中心とする半径ｒの閉球を
Ｓ（ｒ）＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｒ＾３
｜ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２≦ｒ＾２｝
また
Ｍ（ｎ，ｒ）＝Ｍ（ｎ）∩Ｄ∩Ｓ（ｒ）
とし、
Ｎ（ｎ，ｒ）＝Ｎ（Ｍ（ｎ，ｒ）），
Ｅ（ｎ，ｒ）＝Ｅ（Ｍ（ｎ，ｒ））
とおくと、FLTにより
N（ｎ，ｒ）＝０（０＜ｒ）
ｒ→∞としてもＮ（ｎ，∞）＝０です。

他方で４≦ｎならばＥ（ｎ，∞）は
有限確定値となります。
これはまあ、計算の具合で
その程度のずれはあっても
不思議ではありません。

ところがｎ＝３のときには
Ｅ（３，∞）＝∞となり、
確率的には無限に多くの解が
あると期待されます。
実際にはＮ（３，∞）＝０となり、
これは大きく異なります。
ここには何か秘密がありそうですね。
ＦＬＮの証明には楕円曲線の
数論的性質が重要な役割を
果たしますが、ｎ＝３の場合は
素イデアル分解の性質により導かれます。
そうした数論的性質がこの不思議な
乖離を生み出しているのは
とても興味深いことですね。