代数的整数が環をなすことの証明

代数的整数とは、最高次係数が
１である整数係数多項式の根と
なるような数のことです。
言い換えると、次のような形の
多項式の根です。

①　ｘ＾ｎ＋a１・ｘ＾（ｎ－１）＋
   a２・ｘ＾（ｎ－２）＋・・・＋aｎ
（ai∈Z，１≦ i ≦ｎ）

たとえば√２はｘ＾２－２の根なので
代数的整数です。
１＋√３もｘ＾２－２ｘ－２の根なので
代数的整数ですが、１／２は
代数的整数ではありません。

代数的整数の全体は環をなすことが
知られています。
すなわち、α，βが代数的整数なら
α＋β，αβ，－α，α－β
も代数的整数となります。
今回はその証明について
見ていきましょう。

α，βが代数的整数であるとします。
αを根とする多項式を上記の①，
またβを根とする多項式を②と
しましょう。

②　ｘ＾ｍ＋ｂ１・ｘ＾（ｍ－１）＋
  ｂ２・ｘ＾（ｍ－２）＋・・・＋ｂｍ
（ｂj∈Z，１≦ｊ≦ ｍ）

①の根を
α１（＝α），α２，・・・，αｎ，
また②の根を
β１（＝β），β２，・・・，βｍ
とおきます。
まず、α＋βは次の多項式Ｆ１の
根となります。

③　Ｆ１（ｘ）＝Π（ｘ－αi－βｊ）
（１≦ i ≦ｎ，１≦ｊ≦ｍについての積）

これは α＋β＝α１＋β１である
ことから明らかですね。
またF1の各次数、たとえばｘ＾ｒの
係数ｃｒは各αi，βｊについての
整数係数対称式です。
さらにｃｒにおける αiの各次数、
たとえばΠαi＾ｄiの係数
ｃ（ｒ，｛ｄi｝）
は次数型｛ｄi｝をそのままにして
αiの順序を入れ替えても対称な条件で
決まる式なので。順序に関わらず
同じ式になります。
しかも各βｊに関する整数係数対称式
なので、前記事定理２により各ｂｑに
ついての整数係数多項式
ｃ（ｒ，｛ｄi｝）
とおけます。
すなわち、Παi＾ｄiの形の項を
まとめると

ｃ（ｒ，ｄ）・Σ（Παｋ＾ｄi）
（Σはiの各順序i についての和）

Σ（Παｋ＾ｄi）も
前記事定理２により、各aｐの
整数係数多項式になります。
よってｃｒは各aｐ，ｂｑによる
整数係数多項式であり、しかも
各aｐ，ｊｑは整数だったので、
ｃｒもまた整数になります。
各ｒについて同じことが言えるので、
Ｆ１は最高次係数１の
整数係数多項式です。
α＋βはその根なので、代数的整数と
なります。同様に考えて

④　Ｆ２（ｘ）＝Π（ｘ－αi・βｊ）
　（１≦ i ≦ｎ，１≦ｊ≦ｍ）

もまた最高次係数１の
整数係数多項式であり、
αβはその根となります。
よってαβもまた代数的整数です。
さらに、－１はｘ＋１の根なので
代数的整数であり、従って
－α＝（－１）αや－β＝（－１）β
もまた代数的整数です。
従って
α－β＝α＋（－β）
も代数的整数となります。
０，１もそれぞれｘ，ｘ－１の
根なので、以上により代数的整数の
全体は環をなすことが示されました。

次に、代数的数について考えましょう。
代数的数とは、有理数係数多項式の
根となるような数のことです。
すなわち

⑤　a０・ｘ＾ｎ＋a１・ｘ＾（ｎ－１）
　＋a２・ｘ＾（ｎ－２）＋・・・＋aｎ
（ai∈Q，０≦ i ≦ｎ，a０≠０）

の根となるような数です。
式全体をa０で割っても条件は
変わらないので、a０＝１としても
いいですね。
すなわち上記①式を有理数係数とした式

①´　ｘ＾ｎ＋a１・ｘ＾（ｎ－１）＋
　a２・ｘ＾（ｎ－２）＋・・・＋aｎ
（ai∈Q，１≦ i ≦ｎ）

の根となるような数です。
代数的数αを根とする多項式を
①´とし、その根を
α１（＝α），α２，・・・，αｎ
また代数的数βを根とする多項式を

②´　ｘ＾ｍ＋ｂ１・ｘ＾（ｍ－１）＋
　ｂ２・ｘ＾（ｍ－２）＋・・・＋ｂｍ
（ｂj∈Ｑ，１≦ｊ≦ｍ）

その根を
β１（＝β），β２，・・・，βｍ
とおきます。
すると代数的整数の場合と同様に
代数的数α，βに関して
③，④のF1，F2、すなわち

③　Ｆ１（ｘ）＝Π（ｘ－αi－βｊ）
④　Ｆ２（ｘ）＝Π（ｘ－αiβｊ）

を考えることにより
α＋β，αβ，－α，α－β，０，±１
はすべて代数的数となります。
またα≠０のとき、αを根とする
多項式①´ は aｎ≠０であると
仮定できます。
もしそうでないならばｘの適当な
べき乗によって割ることにより
定数項≠０とできるからです。
すると、αは①´の根なので

α＾ｎ＋a１・α＾（ｎ－１）＋
a２・α＾（ｎ－２）＋・・・＋aｎ＝０

両辺をα＾ｎで割って項の順序を
入れ替えると

aｎ・（１／α）＾ｎ＋
a（ｎ－１）・（１／α）＾（ｎ－１）＋
・・・＋１＝０

左辺は１／αについての
有理数係数多項式で、１／αは
その根となります。
よって１／αも代数的数となります。
従って β／α＝（１／α）βもまた
代数的数となります。

代数的数は複素数なので、
零因子がないこと、すなわち
α，β≠０ならばαβ≠０
であることも明らかです。

以上により、代数的数の全体が
体をなすことが示されました。