ピーターソン法　2

上記noteでピーターソン法の3重誤りにおける、誤り位置多項式の係数について述べた。続いて仮定より誤りが少ないケースとt重誤りについて述べる。

誤り数が少ないとき

行列$${S}$$は$${S=ABA^T}$$と分解できる。ただし

$$
A = 
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\alpha^{k} & \alpha^{l} & \alpha^{m} \\
\alpha^{2k} & \alpha^{2l} & \alpha^{2m} \\
\end{pmatrix}
,
B = 
\begin{pmatrix}
\alpha^{k} & 0 & 0 \\
0& \alpha^{l} & 0 \\
0 & 0 & \alpha^{m} \\
\end{pmatrix}
$$

である。誤り数が2個の場合は、

$$
B = 
\begin{pmatrix}
\alpha^{k} & 0 & 0 \\
0& \alpha^{l} & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$

とかけるから、$${det(S) = det(A)det(B)det(A^T)=0}$$となり、$${S}$$は正則ではない。このような場合はあらたに

$$
\begin{pmatrix}
S_1 & S_2 \\
S_2 & S_3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sigma_1 \\
\sigma_2 \\
\end{pmatrix}
=-
\begin{pmatrix}
S_3 \\
S_4 \\
\end{pmatrix}
$$

と置き、この係数行列$${S'}$$が正則ならば誤りの個数は2個であり、同様の方法で誤り位置が求められる。また、$${S'}$$が正則でない場合は、$${S_1 \neq 0}$$ならば誤り個数は1個で、

$$
S_1\sigma_1 = -S_2
$$

により、誤り位置を求められる。
すなわち係数行列が正則かどうかを確認し、正則ならば逆行列を計算、正則でないならば誤り数想定を1減らした係数行列に対して同様に正則かどうかを確認する、という手順で、3以下の誤りを訂正できる。

一般

誤り個数がtの時は、

$$
\begin{pmatrix}
S_1 & S_2 & \cdots & S_t \\
S_2 & S_3 & \cdots & S_{t+1} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
S_t & S_{t+1} & \cdots & S_{2t-1} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sigma_t \\
\sigma_{t-1} \\
\cdots \\
\sigma_1 \\
\end{pmatrix}
=-
\begin{pmatrix}
S_{t+1} \\
S_{t+2} \\
\cdots \\
S_{2t} \\
\end{pmatrix}

$$

より、係数行列が正則なら誤り位置多項式係数が求められる。もし正則でないならば、係数行列の次数を1下げればよい。