フォーニーの公式によらない誤り値の求め方

シンドローム$${S_j}$$は

$$
S_j = e(\alpha^j)= \sum_{k=1}^{s} e_{i_k} (\alpha^j)^{i_k} = 
\sum_{k=1}^{s} e_{i_k} (\alpha^{i_k})^j
$$

より、

$$
S = XE \\
S = 
\begin{pmatrix}
S_1 \\
S_2 \\
\vdots \\
S_{2t} \\
\end{pmatrix}
\\
X = 
\begin{pmatrix}
\alpha^{i_1} & \alpha^{i_2} & \cdots & \alpha^{i_{s}} \\
(\alpha^{i_1})^2 & (\alpha^{i_2})^2 & \cdots & (\alpha^{i_{s}})^2 \\
\vdots \\
(\alpha^{i_1})^{2t} & (\alpha^{i_2})^{2t} & \cdots & (\alpha^{i_{s}})^{
2t} \\
\end{pmatrix}
\\
E = 
\begin{pmatrix}
e_{i_1} \\
e_{i_2} \\
\vdots \\
e_{i_s} \\
\end{pmatrix}

$$

とかける。誤り位置が分かればこの式を

$$
E=X^{-1}S
$$

として誤り値を得ることができる。