原始多項式 例題3.11

例題3.11 $${GF(2)}$$上の2つの多項式$${f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, g(x) = x^5 + x + 1}$$は原始多項式であるかを調べよ。

$${f(x)}$$の根を$${\alpha}$$とおくと$${\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0}$$である。

$$
\alpha^5 = \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha =\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha = 1
$$

より、$${\alpha}$$の位数が5であり、$${2^4-1}$$より小さいから、$${f(x)}$$は原始多項式ではない。

$${g(x)}$$の根を$${\alpha}$$とおくと$${\alpha^5 + \alpha + 1 = 0}$$である。

$$
\alpha^6 = \alpha^2 + \alpha \\
\alpha^7 = \alpha^3 + \alpha^2 \\
\alpha^8 = \alpha^4 + \alpha^3 \\
\alpha^9 = \alpha^5 + \alpha^4 = \alpha^4 + \alpha + 1 \\
\alpha^{10} = \alpha^5 + \alpha^2 + \alpha = \alpha^2 + 1 \\
\alpha^{11} = \alpha^3 + \alpha \\
\alpha^{12} = \alpha^4 + \alpha^2 \\
$$