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n進数の小数表現

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今回は「n進小数」の回です。
ここでは、n進数で換算されたときの小数表現について学びます!

1. 【復習】n進数から10進数への変換方法

まずは、1011₍₂₎を10進数になおしてみましょう。

スクリーンショット 2020-07-11 16.33.12

このように、1桁に2個数字が集まると位が一つ上がることから
各桁に何個ずつ数字が集まっているのか、分解して足してあげます。

2. 2進小数から10進数への変換方法

それではさっそく今日のテーマ、2進数の小数を10進数に直すことから考えてみましょう。

スクリーンショット 2020-07-11 16.36.18

この問題も、同じように、桁ごとに分解して計算してあげましょう。
さて、小数の指数表示を、みなさんは覚えていますか?(私はうっかり忘れていました…)

スクリーンショット 2020-07-11 16.48.10

1の位が「0乗」で表されることから、0.1の位は、「マイナス1乗」と
順に繰り下がって表記されます。そのため、このように桁を整理することができました。

スクリーンショット 2020-07-11 16.53.45

あとは、そのまま計算してあげることで成り立ちますね。0.6875が正解です。
計算のポイントは、2⁻¹ → 1/2¹ である点です。

3. 10進数から2進数への変換方法

10進数からn進数に変換するときの求め方は覚えていますか?
そうです、すだれ算でしたね!

スクリーンショット 2020-07-11 17.05.41

それでは、同じようにやってみましょう!

スクリーンショット 2020-07-11 17.06.45

……あれれ、
同じように2ですだれ算をしようとすると
小数を2で割り続ける(2の塊が一つもない)状態となるので、うまく計算ができませんね。
なぜ「すだれ算」で求められるのか、立ち戻って考えましょう。

・整数のとき…2の塊が、求めたい数の中に、いくつ入っているか調べる
・小数のとき…2⁻¹(=1/2)の塊が、求めたい数の中に、いくつ入っているか調べる

なので考えてあげることは、求めたい数字(0.625)の中に、いくつ2⁻¹が入っているのか、すだれ算は下記のように式を立ててあげましょう。

スクリーンショット 2020-07-11 23.28.37

この計算方法となっても、0.625を 2⁻¹(=1/2) で割ってあげることに変わりません。
0.625を2⁻¹(=1/2)で割り算する、ということは、元の数字に2を掛け算してあげることと同じです。
また、元の数字に 2⁻¹(=1/2)がいくつ入っているかを知りたいため、
各数字に2⁻¹(=1/2)が何個入っているかを左側に記入・2⁻¹(=1/2)で割ったときの整数が個数、となるため下記のように数字を整理しながら計算しましょう。(ここは、動画のほうが分かりやすいです)

スクリーンショット 2020-07-11 23.53.01

そして、2進数に落とすときも、上から読んで答えを導きます。
今回の場合は、0.1010が答えです。

4. n進数⇄n'進数 の変換方法

最後に、n進数⇄n'進数で復習しましょう。

スクリーンショット 2020-07-12 11.10.19

いつものごとく、10進数に置き換えてあげることで、求めましょう。
Aは、10進数でいうと「10」に該当するので、その前提で変換します。

スクリーンショット 2020-07-12 11.11.24

(A.2)₁₆は、(10.125)₁₀と示すことができるとわかりました。
続いて、(10.125)₁₀を2進数に変換する時は、すだれ算を整数部分と小数部分に分けて計算しましょう。

スクリーンショット 2020-07-12 11.12.21

すると、整数部分は(1010)₂で、小数部分は(0.0010)₂となります。
【整数部分と小数部分で、数字の読み上げ方が逆になることに注意!!】
それぞれを足し上げると、答えは1010.0010となります。


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コメント (1)
わかりやすい。ありがとう。
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