ロスビー波

　偏西風波動の挙動に影響を与えるロスビー波について2回に分けて論じる。
　以下、緯度方向に$${x}$$軸、経度方向に$${y}$$軸、鉛直方向に$${z}$$軸を、各々東向き、北向き、上向きを正にとり、この座標系に関する風速を$${(u,v,w)}$$（各成分は$${x,y,z}$$の2回連続可微分関数）と表す。

流体の運動を特徴づける量

　$${w=0}$$とし、$${u,v}$$を各々$${x,y}$$の関数とする。各変数の前に$${d}$$をつけることで微小量を表すことにすると、$${u(x+dx,y+dy),v(x+dx,y+dy)}$$を各々1次近似することで、

$$
\begin{aligned}
du&=u(x+dx,y+dy)-u(x,y)\\
&=\dfrac{\partial u}{\,\partial x\,}dx+\dfrac{\partial u}{\,\partial y\,}dy\\
dv&=v(x+dx,y+dy)-v(x,y)\\
&=\dfrac{\partial v}{\,\partial x\,}dx+\dfrac{\partial v}{\,\partial y\,}dy
\end{aligned}
$$

を得る。この式を変形した

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
du\\dv
\end{pmatrix}
&=\dfrac{1}{\,2\,}\left(\dfrac{\partial u}{\,\partial x\,}+\dfrac{\partial v}{\,\partial y\,}\right)
\begin{pmatrix}
dx\\dy
\end{pmatrix}
+\dfrac{1}{\,2\,}\left(\dfrac{\partial u}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial v}{\,\partial y\,}\right)
\begin{pmatrix}
dx\\-dy
\end{pmatrix}\\
&\qquad+\dfrac{1}{\,2\,}\left(\dfrac{\partial v}{\,\partial x\,}+\dfrac{\partial u}{\,\partial y\,}\right)
\begin{pmatrix}
dy\\dx
\end{pmatrix}
+\dfrac{1}{\,2\,}\left(\dfrac{\partial v}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial u}{\,\partial y\,}\right)
\begin{pmatrix}
-dy\\dx
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

の右辺各項は次のような幾何学的意味を持つ：

　点$${A(x,y)}$$を固定し、$${A}$$を中心とする水平方向の運動を考える。
　第1項は$${x,y}$$の微小変化の向きに平行で、その係数$${\dfrac{\partial u}{\,\partial x\,}+\dfrac{\partial v}{\,\partial y\,}}$$の正負に応じ、$${A}$$を中心に発散、収束する運動を表す。$${\dfrac{\partial u}{\,\partial x\,}+\dfrac{\partial v}{\,\partial y\,}}$$を（水平）発散という。

　第2項は$${x}$$成分と$${y}$$成分が異符号である。係数$${\dfrac{\partial u}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial v}{\,\partial y\,}}$$が正である場合を考えると、$${x}$$の微増微減に伴い、風速の$${x}$$成分が増加、減少する（即ち、$${A}$$を通る経線を軸に、緯度方向に拡大、縮小する）。一方、$${y}$$の微増微減に伴い、風速の$${x}$$成分は減少、増加する（即ち、$${A}$$を通る緯線を軸に、経度方向に縮小、拡大する）。つまり、この項は緯度経度方向の（双曲的）伸縮を表す。
　第3項も双曲的伸縮を表すが、伸縮の方向は次のように、第2項の方向と$${\dfrac{\,\pi\,}{4}}$$の角をなす：

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
dy\\dx
\end{pmatrix}
&=\dfrac{1}{\,2\,}\begin{pmatrix}
(dy+dx)+(dy-dx)\\(dy+dx)-(dy-dx)
\end{pmatrix}\\
&=\dfrac{1}{\,2\,}d(y+x)
\begin{pmatrix}
1\\1
\end{pmatrix}
-\dfrac{1}{\,2\,}d(y-x)
\begin{pmatrix}
-1\\1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

ゆえ、2軸の向きが$${(1,1),(-1,1)}$$である直交座標を考えると、$${y+x,y-x}$$の各々が、第2項における$${x,y}$$の役割をしていることが分かる。

　また、

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-dy\\dx
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0&-1\\1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx\\dy
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

より、第4項は常に$${(x,y)}$$の変位$${(dx,dy)}$$に直交し、係数$${\dfrac{\partial v}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial u}{\,\partial y\,}}$$が正の場合は$${A}$$を中心とする反時計回り（正の向き）の微小回転を表す。係数$${\dfrac{\partial v}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial u}{\,\partial y\,}}$$を渦度（の鉛直成分）といい、$${\zeta}$$で表す。

$$
\zeta=\dfrac{\partial v}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial u}{\,\partial y\,}
$$

水平方向に伝播するロスビー波の導出

　この節でも$${w=0}$$とし、次の仮定を課す：
　　　「平均流は何れの独立変数にも依らず、$${(\overline{u},0)}$$で与えられる」

　風速の擾乱成分を$${(u',v')}$$とする。
　前節で定義した渦度$${\zeta=\dfrac{\partial v}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial u}{\,\partial y\,}}$$は地球上の観測者から見た相対的な回転を表し、相対渦度という。一方、地球外部から見た渦度を絶対渦度といい、地球の自転による成分であるコリオリパラメータ$${f}$$との和$${\zeta+f}$$で与えられる。絶対渦度は時間依存しないことが知られている。即ち、次の関係が成り立つ：

$$
\dfrac{d}{\,dt\,}(\zeta+f)=0
$$

これを渦度方程式という。

　風速に関する仮定と、$${f}$$が$${y}$$のみに依ることを考慮すると、渦度方程式は、

$$
\left(\dfrac{\partial}{\,\partial t\,}+(\overline{u}+u')\dfrac{\partial}{\,\partial x\,}+v'\dfrac{\partial}{\,\partial y\,}\right)\left(\dfrac{\partial v'}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial u'}{\,\partial y\,}\right)+\beta v'=0
$$

となる。ここで、$${\beta=\dfrac{\partial f}{\,\partial y\,}}$$（緯度$${\varphi}$$を固定したときの値）であり、これをロスビーパラメータという。

　擾乱成分の2次の項を無視し、

$$
\left(\dfrac{\partial}{\,\partial t\,}+\overline{u}\dfrac{\partial}{\,\partial x\,}\right)\left(\dfrac{\partial v'}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial u'}{\,\partial y\,}\right)+\beta v'=0
$$

を得る。

　未知変数を減らすために、風速の流線関数$${\psi}$$の擾乱成分$${\psi'}$$を考えると、$${\Delta=\dfrac{\partial ^2}{\,\partial x^2\,}+\dfrac{\partial ^2}{\,\partial y^2\,}}$$として、

$$
\dfrac{\partial \psi'}{\,\partial x\,}=v',
\dfrac{\partial \psi'}{\,\partial y\,}=-u'\\
\mathrm{i.e.}\;\dfrac{\partial v'}{\,\partial x\,}-\dfrac{\partial u'}{\,\partial y\,}=\Delta \psi'
$$

であるから、渦度方程式は、

$$
\begin{align}
\left(\dfrac{\partial}{\,\partial t\,}+\overline{u}\dfrac{\partial}{\,\partial x\,}\right)\Delta \psi'+\beta \dfrac{\partial \psi'}{\,\partial x\,}=0
\tag{$*$}
\end{align}
$$

となる。

　$${\psi'}$$が、波数ベクトル$${(k,l)}$$、角振動数$${\omega}$$、振幅$${\psi_0}$$の平面波（の実部）であるとすると、

$$
\psi'=\psi_0e^{i(kx+ly-\omega t)}
$$

であり、これが$${(*)}$$の解であるための必要十分条件として、分散関係

$$
(-i\omega+\overline{u}\cdot ik)(-k^2-l^2)+\beta\cdot ik=0
$$

即ち

$$
\omega=k\overline{u}-\dfrac{\beta k}{\,k^2+l^2\,}
$$

が得られる。

　すると、擾乱の位相速度（媒質の変位が伝播する速度）$${(c_x,c_y)}$$は、

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
c_x\\c_y
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\dfrac{\omega}{\,k\,}\\\dfrac{\omega}{\,l\,}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\overline{u}-\dfrac{\beta}{\,k^2+l^2\,}\\
\dfrac{\,k\overline{u}\,}{l}-\dfrac{\beta k}{\,l(k^2+l^2)\,}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

となる。

　また、群速度（波束（即ち波の塊、若しくは波のエネルギー）が伝播する速度。一般に、位相速度とは異なる）$${(c_{gx},c_{gy})}$$は、（この場合に限らず）$${\omega}$$の各波数に関する偏導関数として与えられ、

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
c_{gx}\\c_{gy}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial\omega}{\,\partial k\,}\\\dfrac{\partial\omega}{\,\partial l\,}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\overline{u}+\dfrac{\,\beta(k^2-l^2)\,}{(k^2+l^2)^2}\\
\dfrac{2\beta kl}{\,(k^2+l^2)^2\,}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

である。