計算の工夫

　ここでは、中学入試の算数で現れるような計算を中心に、筆算や泥臭い計算に極力頼らずに計算する方法を幾つか示します。

切りのいい数を作る

　末尾に0が連続して並ぶ整数を切りのいい数と表すことにします。切りのいい数があると、実質的な桁数が減り、計算の手間を減らせます。例えば、筆算でもできる計算ですが、足す数、足される数の間で数を融通すると、

              72596+113657=72600+113653=73000+113253=186253

のように計算できます。引き算なら、引く数を切りのいい数にし、引きすぎた分を足して調節します：

                   72042-9567=72042-10000+433=62042+433=62475

　加減する数が多い場合は、適当に2数を組み合わせて切りよくします：

                 6+707+51-453+26+95-73+9+65-2+303-67-36+256

              =13+707+51-453+26+95-73+65+303-67-36+256

              =720+51-453+26+95+230+65-67-36+256

              =771-453+26+160+230-67+220

              =771-520+26+390+220

              =771-300+26+390

              =797+90=887

　1桁の数など、容易にまとめられる部分はその都度計算しています。

　ここでは和と差のみを引き合いに出しましたが、末尾に0が現れる、つまり、10(=5×2)が現れると、積や商の計算も比較的容易にできます。

偶数と5の倍数の積

　前項で、切りのいい数を作る際に端数を調整しました。同様に、5で割る計算は、10(=5×2)で割った商に割りすぎた2を掛ける計算とみることで、小数点を左に1つずらし、2を掛ける計算と等しいと分かります。このように考えると、次のような暗算ができます：

　　　　 　　  　　　267÷5=267÷10×2=26.7×2=53.4

　同様に、5を掛ける計算は、10との積を2で割る計算と同等です：

                                  847×5=847×10÷2=8470÷2=4235

　また、5の倍数に2を掛けると末尾に必ず0が現れ、多くの場合、実質的な桁数が減ります。このことを用いると、次のような計算ができます（5の倍数でない方を2で割り、同時に5の倍数を2倍しています。最後の計算では割る数、割られる数をともに2倍しています。）：

                                    72×25=36×50=18×100=1800

                          384×0.375=192×0.75=96×1.5=48×3=144

              11375÷875=22750÷1750=45500÷3500=91000÷7000=13

　0.375は整数ではありませんが、末尾が5なので、同様に桁数が減り、容易に計算できます。

　さらに、例えば17×17=289であると知っていれば、次のように暗算レベルの割り算のみで積を求められます：

                  85×85=170×170÷2÷2=28900÷2÷2=14450÷2=7225

別に例を挙げれば、

          175×535=350×1070÷2÷2=700×1070÷2÷2÷2=749000÷2÷2÷2

        =374500÷2÷2=187250÷2=93625

　何れの場合も、5による積や商より、2による積や商の方が計算しやすく、暗算も可能であることを用いて計算を簡略化しています。

分配法則

　〇、△、▢の値によらず、

                (〇＋△)×▢=〇×▢+△×▢（+は－、×は÷でもよい）

が常に成り立ちます。これを分配法則といいます。これを用いることで計算が容易くなる場合が多々あります。次のように使うことが多いです：

                   53×183+47×183=(53+47)×183=100×183=18300

                  (19/24-7/16)×48=(19/24)×48-(7/16)×48=38-21=17

　大きい数が絡む掛け算を実行するときにも利用できます：

           1997×52=(2000-3)×52=2000×52-3×52=104000-156=103844

　個人的には、よくこのような使い方をします：

  8542×9=8542×(10-1)=8542×10-8542=85420-8542=75420+1458=76878

       7×7×3.14=3.14×49=3.14×(50-1)=3.14×50-3.14=157-3.14=153.86

　このように、9倍した積は、元の数の10倍から元の数を引くことで得られます。99倍や999倍なども、同様に計算できます。

　前項と合わせると、このようなこともできます：

     5489×45=5489×90÷2=2744.5×90=27445×9=274450-27445=247005

         8375×324=16750×162=33500×81=(335×9)×9×100

　                      =(3350-335)×9×100=3015×9×100=(30150-3015)×100

                          =2713500

                    2735×392-2741×389=(2741-6)×392-2741×389

                                                      =2741×392-6×392-2741×389

                                                      =2741×(392-389)-6×392

                                                      =2741×3-3×784=(2741-784)×3

                                                      =(2000-43)×3=6000-129=5871

部分分数分解、通分など

　次の式の計算を考えます：

                             1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90

　分母を一気に通分するのは困難です。地道に2個の分数を順に計算するのも骨が折れます。

　12=3×4、20=4×5、30=5×6、…であることを用いると、次のように計算できます：

                                1/12=(4-3)/12=4/12-3/12=1/3-1/4

                                1/20=(5-4)/20=5/20-4/20=1/4-1/5

                                1/30=(6-5)/30=6/30-5/30=1/5-1/6

などにより、

                      1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90

                    =(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+…+(1/9-1/10)

                    =1/3-1/10=7/30

　太字にした部分は同じ分数の加減がペアで現れ、打ち消されます。結局、両端の1/3と1/10のみが残り、計算が大幅に簡単になりました。この、計算の簡略化は、1/12=(4-3)/12=4/12-3/12=1/3-1/4のように、元の分数を2つの分数の差で表したことによります。このような分解を、元の分数の部分分数分解といいます。別に例を挙げると、8/15=(5+3)/15=1/3+1/5も部分分数分解で、

                  8/15-12/35+16/63-20/99+24/143

               =(1/3+1/5)-(1/5+1/7)+(1/7+1/9)-(1/9+1/11)+(1/11+1/13)

               =1/3+1/13=16/39

のような計算ができます。

　21(=3×7)のように、分母が2以上離れた数の積のときは、次のように微調整して分解することがあります：

                            1/21=(1/4)×(7-3)/21=(1/4)×(1/3-1/7)

　すると、

        1/21+1/45+1/77+1/117+1/165

      =(1/4)×{(1/3-1/7)+(1/5-1/9)+(1/7-1/11)+(1/9-1/13)+(1/11-1/15)}

      =(1/4)×(1/3+1/5-1/13-1/15)=(1/4)×(7/15-1/13)

      =19/165　

　分母が大きい分数同士の加減では、5/221+4/195のように、分母が公約数をもつことがよくあります（この場合は最大公約数が13）。このような場合、分配法則により、1/13で括ることができ、若干計算が楽になります（分子143と分母の約分がしやすくなる）：

              5/221+4/195=(1/13)×(5/17+4/15)=(1/13)×143/225=11/225

　この場合に限らず、ある数で括りながら計算すると、括弧内の桁数が小さくなり、扱いやすくなることが多いです：

               0.23×73-23×0.38+2.3×6.5=0.23×73-0.23×38+0.23×65

                                                          =0.23×(73-38+65)=0.23×100=23

                   8×38+28×52-128=16×(19+7×13-8)=16×102=1632

　算数や数学の問題を解くにあたり、ある程度の計算はつきもので、計算ミスもついて回ります。一方で、計算をしなければ、計算ミスもしません。余分な細かい計算を避けられないか普段から工夫を重ねると、計算の速度、精度ともに向上していきます。

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました。