連続体：縦波と横波，ヘルムホルツ分解

ベクトル場 $${ \bold{u}(\bold{x}) }$$に関する縦波(longitudinal)成分と横波(transverse)成分への分解を行う．

Helmholtz 分解が便利だ．

Fourier 変換をまず行っておこう．
$${ \widetilde{\bold{u}}(\bold{k}) \equiv \int d\bold{x} e^{i \bold{k} \cdot \bold{x}} \bold{u}(\bold{x}) }$$

縦波と横波

縦波$${\widetilde{\bold{u}}_L}$$: $${\bm{k}}$$ と平行．
実空間では，$${ rot(\bold{u}_L) = \nabla \times \bold{u}_L = \bold{0} }$$
渦なし流れ．保存力$${ \bold{u}_L = - \grad{\Phi} }$$ の形で書ける．
波の進行方向と振動方向が一致．

横波$${\widetilde{\bold{u}}_T}$$: $${\bm{k}}$$ と垂直．
実空間では，$${ div(\bold{u}_T) = \nabla \cdot \bold{u}_T = 0 }$$
非圧縮流れ．$${ \bold{u}_L = rot(\bold{A}) = \nabla \times \bold{A} }$$のベクトルポテンシャルを用いた形で書ける．
波の進行方向と振動方向が垂直．

Helmholtz 分解

以下のように$${\widetilde{\bold{u}}(\bold{k})}$$を分解（Helmholtz decomposition）．
$${ \widetilde{\bold{u}}(\bold{k}) = \widetilde{\bold{u}}_{L}(\bold{k}) + \widetilde{\bold{u}}_{T}(\bold{k}) = (\hat{\bold{k}}\cdot\widetilde{\bold{u}}(\bold{k}))\hat{\bold{k}} + (\bold{I} - \hat{\bold{k}}\hat{\bold{k}}) \cdot \widetilde{\bold{u}}(\bold{k}) }$$

Helmholtz 分解（実空間）

任意の vector field $${\bold{u}(\bold{x})}$$ は
scalar field (or potential) $${\phi(\bold{x})}$$ と vector field (or vector potential) $${\bold{A}(\bold{x})}$$ によって， 以下のように分解される：
$${\bold{u}(\bold{x}) = \bold{\nabla} \phi(\bold{x}) + \bold{\nabla} \times \bold{A}(\bold{x})}$$