逆関数の微分はうまくやろう

逆関数の微分法ってなんだっけ

逆関数の微分公式、存在意義が忘れられていたり、それどころかなにそれ？という人もいますね。

多分あたりまえに見えて気にも留めない人もいるのかな。一応利用できますよというテクニックなので使わないで困らない人は困らず進んでしまっているのかもしれないですよね。僕もふーんと読み飛ばしたりしてました。でもわざわざ教科書に載っけてるんだから、有用なのだろうと思いましょうよ。

有効活用してみる

ベタな問題で言えば

y=x³の逆関数の導関数を求めなさい

のように逆関数を指定してくるタイプです。ここで

y=f⁻¹(x) ⇔ x=f(y)

ですから、ひとまず逆関数が

x=y³

を満たすことが分かります。そのまま両辺微分してしまい、後から逆数をとれば無事に逆関数の微分が出来るということですね。

この方法をとる価値のひとつは逆関数を求めずに進められるところでしょうか。それは今までに逆関数を求めずにxとyを入れ替えまくってたのとおなじ理由です。

では、逆関数の性質を使った問題です

逆関数を求めないでいく問題の例を出しておきます。

f(x)の逆関数をg(x)とする。f(α)=β , f'(α)=β
のとき、β・g'(β)の値を求めなさい。

(以下解答)

y=g(x)とおくとx=f(y)。両辺微分することにより

1=f'(y)・y'

整理して

y'=1/f'(y)

よって

g'(x)=1/f'(g(x))

x=βを代入して

β・g'(β)=1

感想

やはりこの逆関数の微分法は、何もない関数からわざわざ使うというより、逆関数としての問題で必然的に使われるものでしょうか。

逆関数そのものが分からずともその条件から突き進むという必須テクで、やっぱり新公式という感じはないですね。

でも意外と突然出されて活用するには慣れが必要ですし、逆関数関連は問題たくさん解きましょう！