本当だってば

自分が言っていることをなかなか信じてもらえなかったり、ちょっと信じられないような話があった時に人に話しても信じてもらえなかったりすることありますよね。

そういう時に登場するのがこの言葉です。

神に誓ってとかいう場合は

I swear to God.

となりますし、神様じゃなくても自分にとって大切な存在の人（例えば両親や恋人など）に言い換えたりします。

I swear to my parents.
I swear to my girlfriend/boyfriend.

同じような意味でもう少し砕けた言い方だと

I promise　（約束です）

というのもあるかもですね。

絶対にとにかく「嘘」じゃないということです。誓う＝約束するって言うときに言うこと。

愛の告白でなくとも友達同士で気軽に使ったりもします。

I swear that I will cook for my mom. (今日はママのためにお料理します）
I promise that I will call you at 8. (８時に電話します）

最初の文章だと、むしろ「お料理しなくてはいけないんだ」という意味合いになったりもしますね。その辺は文脈との兼ね合いで決まってきます。