yukicoder No.9138 無向辺 2-SAT

Writerのt98sliderさん、そして解いて下さった皆様にも感謝です。

問題

ProblemId = 9138 - yukicoder

$${2-SAT}$$ とみて条件付けを行う問題です。

解説

Union-Findを用いて矛盾がないか、情報に対する制約が増えていないかを判定すればよいです。

この問題の場合は、

$$
x=x\\
\neg x=x+N
$$

と見立てて考えると扱いやすいでしょう。

この問題では、クエリ$${3}$$ がおそらくネックとなります。これについて$${2}$$ 通りの解決法を示します。

解法1

RollbackつきUnion Findを用います。ライブラリは以下にあります。「Union Find 復元」とかで調べたら出てきてしまったので載せておきます。

RollbackつきUnion Find

これはそのまますぎるのでプログラムについては省略致します。検索する力は大事なのかもしれません。

解法2

難しいポイントとして、クエリ$${3}$$ でリセットがかかる度にご丁寧にサイズ$${2×N}$$でUnion-Findを作成すると、$${Q}$$回のコンストラクタにより、最悪$${O(NQ)}$$を要し、TLEとなります。

そこで$${1}$$ つのクエリ$${3}$$ が出現するまでに出現するクエリ$${1}$$, クエリ$${2}$$ で用いられる$${u, v}$$ の値を先に抜き出し、座標圧縮することで、クエリ全てにおけるUnion-Findのコンストラクタの計算量の合計も高々$${O(Q)}$$ で収められます。

クエリ$${3}$$ 全てにおける座標圧縮の計算量の合計は高々$${O(Q logQ)}$$です。

また、クエリ$${1, 2}$$ 全てにおける計算量の合計は高々$${O(Q \alpha(Q))}$$です。

従って、この問題は高々$${O(Q logQ)}$$で解くことができました。

おわりに

お読みいただきありがとうございました。分かりづらい箇所、誤りがあれば教えてください。

さよなら。

解法2のプログラム

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;
using ll = long long;
using ld = long double;
using P = pair<int, int>;
using Graph = vector<vector<ll>>;
using vi = vector<int>;
using vl = vector<long>;
using vll = vector<long long>;
using vvi = vector<vi>;
using vvl = vector<vl>;
using vvll = vector<vll>;
using vs = vector<string>;
using vc = vector<char>;
using vvc = vector<vc>;
using pll = pair<long long, long long>;
using vpll = vector<pll>;
using mint = modint998244353;
const long double EPS = 1e-18;
const long long INF = 1e18;
const long double PI = acos(-1.0L);
#define reps(i, a, n) for (ll i = (a); i < (ll)(n); i++)
#define rep(i, n) for (ll i = (0); i < (ll)(n); i++)
#define rrep(i, n) for (ll i = (1); i < (ll)(n + 1); i++)
#define repd(i, n) for (ll i = n - 1; i >= 0; i--)
#define rrepd(i, n) for (ll i = n; i >= 1; i--)
#define ALL(n) begin(n), end(n)
#define IN(a, x, b) (a <= x && x < b)
#define INIT                          \
    std::ios::sync_with_stdio(false); \
    std::cin.tie(0);
template <class T>
inline T CHMAX(T& a, const T b) {
    return a = (a < b) ? b : a;
}
template <class T>
inline T CHMIN(T& a, const T b) {
    return a = (a > b) ? b : a;
}

int main() {
    ll N, Q;
    cin >> N >> Q;
    mint ans = 0;
    mint def = mint(2).pow(N);
    ans = def;
    vll num(4e5 + 100, 0);
    vvll queee(2e5 + 100);
    rrep(i, Q) {
        ll q;
        cin >> q;
        queee[i].push_back(q);
        if (q != 3) {
            ll x, y;
            cin >> x >> y;
            queee[i].push_back(x);
            queee[i].push_back(y);
        }
    }
    ll right = 1;
    ll left = 1;
    while (left <= Q) {
        while (queee[right][0] != 3 && right < Q) {
            right++;
        }
        vll za;
        reps(i, left, right + 1) {
            if (queee[i][0] != 3) {
                za.push_back(queee[i][1]);
                za.push_back(queee[i][1] + N);
                za.push_back(queee[i][2]);
                za.push_back(queee[i][2] + N);
            }
        }
        sort(ALL(za));
        za.erase(unique(ALL(za)), za.end());
        dsu uf(za.size() + 10);
        reps(i, left, right + 1) {
            if (queee[i][0] == 1) {
                ll u = lower_bound(ALL(za), queee[i][1]) - za.begin();
                ll v = lower_bound(ALL(za), queee[i][2]) - za.begin();
                ll nu = lower_bound(ALL(za), queee[i][1] + N) - za.begin();
                ll nv = lower_bound(ALL(za), queee[i][2] + N) - za.begin();
                if (!uf.same(u, v)) {
                    ans /= 2;
                }
                uf.merge(u, v);
                uf.merge(nu, nv);
                if (uf.same(u, nu) && uf.same(v, nv)) {
                    ans = 0;
                }
            } else if (queee[i][0] == 2) {
                ll u = lower_bound(ALL(za), queee[i][1]) - za.begin();
                ll v = lower_bound(ALL(za), queee[i][2]) - za.begin();
                ll nu = lower_bound(ALL(za), queee[i][1] + N) - za.begin();
                ll nv = lower_bound(ALL(za), queee[i][2] + N) - za.begin();
                if (!uf.same(u, nv)) {
                    ans /= 2;
                }
                uf.merge(u, nv);
                uf.merge(nu, v);
                if (uf.same(u, nu) && uf.same(v, nv)) {
                    ans = 0;
                }
            } else {
                ans = def;
            }
            cout << ans.val() << endl;
        }
        right++;
        left = right;
    }
}