編入数学 要点まとめ
こんにちは。hechiMaです。
編入数学に取り組んでいる高専生に向けて、というのは建前で、勉強中の自分へ向けて、数学の要点や公式、解き方などについてザックリまとめていきます。間違い等多々あると思いますので、コメントにてご指摘お願いします。
随時追加していきますのでそれではどうぞ。
極限
基本のキ
無理式(√の中に多項式がある式)を含んだ$${\infty-\infty}$$の不定形⇒共役な数を掛けて有理化する。
$${\frac{\infty}{\infty}}$$の不定形⇒分母と分子を、分子の最も次数が大きい文字で割る。
三角関数の極限
$$
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin A}{A}=1
$$
ネイピア数eの定義より
$$
\lim\limits_{x \to 0} (1\pm ax)^{\pm \frac{1}{ax}} = \lim\limits_{x \to \infty} (1 \pm \frac{1}{ax})^{\pm ax} = e
$$
ロピタルの定理
$$
\lim\limits_{x \to a} \frac{g(x)}{f(x)}=\lim\limits_{x \to a} \frac{g'(x)}{f'(x)}
$$
使うための条件は
$${\lim\limits_{x \to a} \frac{g(x)}{f(x)}}$$が$${\frac{0}{0}}$$か$${\frac{\infty}{\infty}}$$の不定形
$${\lim\limits_{x \to a} f'(a) \neq 0}$$
なお、この定理は複数回行うことが可能なため、1回で極限が求まらない場合は複数回定理を適用する。
はさみうちの定理
周期関数は取る値域が限定されている(例：$${-1 \leqq \sin x \leqq1 }$$)ことを用いる方法。
$${\lim f(x)}$$において$${f(x)}$$を定数ではさみ、その極限値を求める。
KYOKUGEN WAZA
$${\lim\limits_{x \to a} f(x)}$$が$${0^0}$$や$${\infty^0}$$の不定形の場合は以下のように解く。
$${f(x)=y}$$とおく。
$${\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} e^{\ln y}}$$となる。
$${\lim\limits_{x \to a} \ln y}$$を求め、$${\lim\limits_{x \to a} f(x)}$$の値を求める。
※途中で$${0 \times \infty}$$の形が出てきた場合、$${\frac{\infty}{\infty}}$$の形に変形し、ロピタルの定理を適用する。
極限値の例を示す。
$${\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0}$$
微分
微分の定義
$$
f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x）-f(x)}{\Delta x}
$$
微分公式
$$
(\sin^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\cos^{-1} x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1+x^2}
$$
$$
(\tan x)' = \frac{1}{cos^2x}
$$
$$
\alpha を定数とする。\\
(\alpha^x)'=\alpha^x \ln \alpha
$$
$$
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\
\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2}
$$
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} \\
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} \cdot \frac{d}{dt} \frac{dy}{dx}
$$
ライプニッツの公式
n次導関数を求めるとき、以下の公式を用いる。
$$
y^{(n)} \\
= (f \cdot g)^{(n)} \\
= f^{(n)}g + {}_n C_1 f^{(n-1)} g'+ \cdots + {}_n C_r f^{(n-k)} \cdot g^{(k)} \\
= \sum\limits_{k=0}^r {}_n C_k f^{(n-k)} g^{(k)}
$$
※rはg(x)の最高次数である。
r+1回微分すると0になるためこのような公式となる。
微分可能性を調べるには
$${f(x)}$$が$${x=a}$$で微分可能であることを示すには
$${f'(a)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$
を用いる。
f(x)がx=aで連続か調べるには
$${\lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)}$$を示す。
$${x=\pm a}$$で関数が異なる場合、$${\lim\limits_{x \to +a} f(x)}$$と$${\lim\limits_{x \to -a} f(x)}$$の両方を求める。
対数微分法
指数に関数がかかっているときに用いる
（例：$${y=(\cos x)^x}$$において、$${y'}$$を求めよ。）
両辺の対数を取る（$${\ln y = \ln \{(\cos x)^x\} = x \ln (\cos x)}$$）
両辺をxで微分する（$${\frac{1}{y} \cdot y' = \ln (\cos x) + \frac{x}{\cos x} \cdot (-\sin x)}$$
y'を求める。
（$${y' = y \left\{ \ln(\cos x) - x \frac{\sin x}{\cos x} \right\} = (\cos x)^x \left\{\ln(\cos x) - x \tan x \right\}}$$）
※二重で指数がかかっているときは、指数部を文字でおいて、二回対数微分法を用いる。
増減表
関数の概形や極値、最大・最小値を調べるとき、増減表を作る。以下の手順に従う。
$${f'(x)}$$及び$${f''(x)}$$を求める。
$${f'(x)=0}$$、$${f''(x)=0}$$となる点を求める。
$${f'(x)<0}$$のときf(x)は減少、$${f'(x)>0}$$のときf(x)は増加
$${f''(x)<0}$$のときf(x)は上に凸、$${f''(x)>0}$$のときf(x)は下に凸
ここから増減表を完成させる。
グラフの書き方
$${y=f(x)}$$を満たすxの範囲を調べる。
その範囲を用いて増減表を作る。
$${\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)}$$を求める。
これらを基に、グラフを描く。
接線の方程式
$${y=f(x)}$$において、接点$${(a,b)}$$における接線の方程式は
$${y-b=f'(a)(x-a)}$$
で求められる。
接点ではなく接線が通る点が分かっている場合、接点をtなどの文字でおいて表し、上の式に代入してtの値を求め、接線の方程式を立てる。
|g(x)|≦h(x)を示すには
$${|g(x)| \leqq h(x) \ \Leftrightarrow -h(x)\leqq g(x) \leqq h(x)}$$より、
①$${0 \leqq f_1(x) = g(x) + h(x)}$$
②$${0 \leqq f_2(x) = -g(x) + h(x)}$$
の二つを示す。
つまり、$${f_1(x)}$$、$${f_2(x)}$$のそれぞれの最小値が0以上であることを示す。
BIBUN WAZA
$${f'(x)=0}$$のとき、f(x)は定数関数であるから、f(x)の値を求めたいとき、xにはどんな数を入れてもよい。
$${y=f(x)}$$と$${y=g(x)}$$が$${x=t}$$で接するとき、
・$${f(t)=g(t)}$$
・$${f'(t)=g'(t)}$$
の二つが成り立つ。
$${ax^3+bx^2+cx+d=0}$$が相異なる3つの実数解を持つということは
$${y=ax^3+bx^2+cx}$$と$${y=-d}$$の交点の数が3つということ。
接線がn本書けるということは接線の方程式がn個存在するということ。
二つの関数の出発点が同じなら、微分係数の大きい方が上側に来る。
積分
積分の定義
$$
\int_{0}^{\infty} f(x) dx
=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \left\{f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} \right\} \\
=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n \int_k^{k+1} f(x) dx
$$
積分公式
$$
\int \ln x dx = x \ln x -x
$$
$$
\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C
$$
$$
\begin{pmatrix}
\int e^{ax} \sin bx dx \\
\int e^{ax} \cos bx dx \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sin bx \\
\cos bx \\
\end{pmatrix}
$$
$$
pを定数とする。\\
\int \frac{1}{x+p} dx = \ln|x+p| +C
$$
$$
\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln|f(x)|
$$
$$
\int \frac{1}{(x+\alpha)^2+\beta^2} dx =
\frac{1}{\beta}\tan^{-1} \frac{x+\alpha}{\beta} + C
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x dx =
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x dx \\
= \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}（n：偶数）\\
=\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3}(
n:奇数）
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln (x+\sqrt{x^2+a^2})
$$
置換のコツ
$${\int (a^2-x^2)^{\frac{b}{2}} dx}$$（a,b：実数）の形の場合、
$${x=a \sin \theta}$$と置換する。
$${t=\tan\frac{x}{2}}$$と置換したとき
$${\sin x = \frac{2t}{1+t^2}}$$
$${cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}}$$
$${tan x = \frac{2t}{1-t^2}}$$
$${dx = \frac{2}{1+t^2}dt}$$
となる。
面積
$${a \leqq x \leqq b}$$において$${g(x) \leqq f(x)}$$のとき、面積は
$${\int_a^b \{f(x)-g(x)\} dx}$$
で表される。
$${\alpha \leqq \theta \leqq \beta}$$において$${r=f(\theta)}$$の面積は
$${\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \{r(\theta)\}^2 d\theta}$$
で表される。
曲線の長さ
$${a \leqq x \leqq b}$$における$${y=f(x)}$$の長さは
$${\int_a^b \sqrt{1+(y')^2} dx}$$
で表される。
$${\alpha \leqq \theta \leqq \beta}$$において$${r=f(\theta)}$$の長さは
$${\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta}$$
で表される。
回転体の体積(x軸まわり)
$${y=f(x)}$$の回転体の体積は
$${\int_{a}^{b} \pi \{f(x)\}^2 dx}$$
で求められる。
$${a\leqq x \leqq b}$$において、$${f(x) \geqq g(x)}$$のとき、回転体の体積は
$${\int_a^b \{ \pi (f(x))^2 - \pi (g(x))^2 \} dx}$$
で求められる。
広義積分
$${f(x)}$$が$${x\to\infty}$$で未定義の時、
$${\int_0^{\infty} f(x) dx = \lim\limits_{a \to \infty} \int_0^a f(x) dx}$$
で求められる。
微分積分学の基本定理より
$$
F(x)= \int_{g(x)}^{h(x)} s(t) dt のとき、\\
F'(x)=s(h(x))\cdot h'(x) - s(g(x))\cdot g'(x)
$$
媒介変数表示の積分
$${x=f(\theta), y=g(\theta)}$$で表されるとき、$${\alpha \leqq \theta \leqq \beta}$$における$${y}$$の$${x}$$による積分は
$${\int_{\alpha}^{\beta} y \frac{dx}{d\theta} d\theta}$$ で表される。
SEKIBUN WAZA
部分積分の公式は積の微分公式から導出する。
線形代数
内積・外積
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} \\
\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}
$$
球の方程式
$${(a, b, c)}$$を中心とする半径rの球の方程式は
$${(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2}$$ で表される。
平面の方程式
$${x_0, y_0, z_0}$$を通り、法線ベクトル$${\vec{n}=(a, b, c)}$$をもつ平面の方程式は
$${a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0}$$ で表される。
⇒平面上の座標、法線ベクトルの二つが分かれば求まる。
直線の方程式
$${x_0, y_0, z_0}$$を通り、方向ベクトル$${\vec{u}=(a, b, c)}$$をもつ平面の方程式は
$${\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}}$$ 及び
$${x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct}$$ で表される。
⇒直線上の座標、方向ベクトルの二つが分かれば求まる。
直線と点との距離
直線$${ax+by+cz+d=0}$$と点$${x_0, y_0, z_0}$$との距離は
$${\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$$ で表される。
内分点
点A$${(a_x, a_y, a_z)}$$と点B$${(b_x, b_y, b_z)}$$において、線分ABを$${i:j}$$に分ける点は
$${\frac{j(a_x, a_y, a_z)+i(b_x, b_y, b_z)}{i+j}}$$ で求められる。
線形部分空間
ベクトル$${\vec{v_1}, \vec{v_2}}$$が張る線形部分空間とは、
$${U=\{s\vec{v_1} +t \vec{v_2} | s,t \in \mathbb{R}}$$ で表される平面をさす。
正射影ベクトル
正射影とは、ベクトルに光を当てた時の影のベクトルである。
ベクトル$${\vec{a}}$$のベクトル$${\vec{b}}$$への正射影ベクトル$${\vec{s}}$$は
$${ \vec{s} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} }$$ で表される。
一次独立・一次従属
$${c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_n \vec{v}_n = \vec{0}}$$と置いた時の解が
⇒$${c_1=c_2=\cdots =c_n=0}$$ なら一次(線形)独立
⇒それ以外の解があれば一次(線形)従属
なお、$${c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_n \vec{v}_n}$$の形を一次(線形)結合という。
線形独立なベクトルによる線形結合の係数の組はただ一つである。
線形写像
ベクトル$${\vec{x}, \vec{y}}$$、及び$${a}$$について、線形写像$${f}$$に関して以下の式が成り立つ。
$${f(\vec{x} +\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})}$$
$${f(a\vec{x})=a f(\vec{x})}$$
なお、以下の式が成り立つとき、$${\vec{s}}$$を固有ベクトル、$${\lambda}$$を固有値という。
$${f(\vec{s}) = \lambda \vec{s}}$$
固有ベクトルは線形写像$${f}$$によって向きの変わらない特別なベクトルで、固有値はその拡大率をさす。
グラム・シュミットの正規直交化法
$${\mathbb{R} ^3}$$のベクトル$${\{\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3} \}}$$から、$${\mathbb{R} ^3}$$のの正規直交系$${\{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}}$$を構成する。
$$
\vec{b_1} = \frac{\vec{a_1}}{|\vec{a_1}|} \\
\vec{b_2'} = \vec{a_2} - (\vec{a_2} \cdot \vec{b_1})\vec{b_1} \\
\vec{b_2} = \frac{\vec{b_2'}}{|\vec{b_2'}|} \\
\vec{b_3'} = \vec{a_3} - (\vec{a_3} \cdot \vec{b_1})\vec{b_1} - (\vec{a_3} \cdot \vec{b_2})\vec{b_2} \\
\vec{b_3} = \frac{\vec{b_3'}}{|\vec{b_3'}|}
$$
余因子行列を用いた逆行列の求め方
$${\widetilde{A}}$$を余因子行列とするとき、逆行列$${A^{-1}}$$は以下の式で表される。なお、$${|A|}$$は行列$${A}$$の行列式の値である。
$$
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \widetilde{A}
$$
正方行列について
正方行列$${B, C}$$に対し、$${E}$$を単位行列とするとき、
$${BC=E}$$が成り立つなら$${B}$$は正則、$${B^{-1} =C}$$である。
転置行列について
添え字$${{}^t}$$を転置行列を示す記号とするとき、以下の定理が成り立つ。
$$
{}^t ({}^t A) = A \\
{}^t E = E \\
{}^t (BC) = {}^t C {}^t B \\
{}^t (B+C) = {}^t B + {}^t C \\
$$
対称行列と交代行列について
$${{}^t X}$$を行列$${X}$$の転置行列とすると、
$${X=-{}^t X}$$を満たす$${X}$$を交代行列、$${X={}^t X}$$を満たす$${X}$$を対称行列という。
ここで、行列$${A}$$について、対称行列を$${S}$$・交代行列を$${T}$$とすると、交代行列と対称行列の和で次のように表すことができる。
$$
A=S+T \\
S=\frac{1}{2} (A+{}^t A) \\
T=\frac{1}{2} (A-{}^t A)
$$
※n次の交代行列について、
nが奇数⇒行列式の値は0 / nが偶数⇒行列式の値は0でない
トレース
$${X}$$を正方行列とするとき、$${tr(X)}$$を$${X}$$のトレースと言い、対角成分の和を示す。
$${A, B}$$を任意の正方行列とするとき、以下の定理が成り立つ。
$$
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
$$
行列式の基本性質
行(列)ベクトルが和の形 ⇒ 行列式を分けて足す
同じ行(列)ベクトルがある ⇒ 行列式の値は0となる
行(列)を入れ替える ⇒ $${-1}$$倍する
ある行(列)が$${c}$$(定数)倍されている ⇒ $${c}$$をくくりだせる
ある行(列)に別の行(列)の定数倍を加える ⇒ 行列式の値は変わらない
※各行(各列)の和が等しい場合、一つの行(列)に全ての行(列)を足すとその行(列)の値が等しくなるため、共通因数をくくりだせる。
行列式に関する定理
$${A, B, C}$$を正方行列、$${O}$$を零行列とする。
このとき、以下の定理が成り立つ。
$$
|{}^t A| = |A| \\
|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \\
\begin{vmatrix}
A&O \\ C&B
\end{vmatrix}
=-
\begin{vmatrix}
O & A \\ B & C
\end{vmatrix}
=|AB| = |A| |B|
$$
スカラー三重積
三つのベクトル$${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$$が張る平行六面体の体積は、以下のスカラー三重積で表される。また、この値は$${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$$を列ベクトルとする行列の行列式の値と等しい。
$$
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \\
=\det\begin{pmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{pmatrix}
$$
クラメルの公式
$$
A=( \vec{a_1} \vec{a_2} \cdots \vec{a_n}), \vec{x}=(x_1, x_2, \cdots , x_n) のとき \\
A\vec{x}=\vec{b} が成り立つなら \\
x_1 = \frac{1}{\det{A}} \begin{vmatrix} \vec{b}&\vec{a_2}&\cdots&\vec{a_n} \end{vmatrix} \\
x_2 = \frac{1}{\det{A}} \begin{vmatrix} \vec{a_1}&\vec{b}&\cdots&\vec{a_n} \end{vmatrix} \\
\vdots \\
x_n = \frac{1}{\det{A}} \begin{vmatrix} \vec{a_1}&\vec{a_2}&\cdots&\vec{b} \end{vmatrix}
$$
連立方程式の解の判別
連立方程式を拡大係数行列を用いて表したとき、以下のように解を判別できる。なお、$${\mathrm{rank}A}$$とは行列$${A}$$の階数を表す。
SENDAI WAZA
$$
A\vec{x}=\vec{0} において \vec{x} が \vec{0} 以外の解をもつ \\
⇒ |A| \neq 0
$$
$$
\vec{x} = (x_1, x_2, \cdots x_n) のとき、\\
\begin{pmatrix} \vec{a_1}&\vec{a_2}&\cdots & \vec{a_n} \end{pmatrix} \vec{x}
=\vec{a_1}x_1 + \vec{a_2} x_2 + \cdots + \vec{a_n}x_n \\
と分解できる
$$
その他
関数の概形
$${y= \log x}$$、$${y=e^x}$$のグラフは以下の形になる。
極座標$${(r, \theta)}$$において$${r=a(1+\cos \theta)}$$(aは定数)で表される曲線をカージオイドという。そのグラフは下のような形になる。
$${x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)}$$(aは定数)で表される曲線をサイクロイドという。そのグラフは下のような形になる。
逆関数
存在条件は次のいずれかを満たすこと。
・$${f'(x)<0}$$：f(x)が単調減少
・$${f'(x)>0}$$：f(x)が単調増加
次のような手順で求める。
$${y=f(x)}$$とおく。
二次方程式に持ってくるなどの方法を用いてxについて解く。
xとyを入れ替え、f(x)で表す。
極座標
$${(x,y)=(r \cos \theta, r \sin \theta)}$$とおいて直交座標に変換する。
展開公式
$$
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
$$
三角関数に関する公式
$$
a\sin\theta +b\cos\theta \\
=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta + \tan^{-1} \frac{b}{a}\right) \\
=\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta - \tan^{-1} \frac{b}{a}\right)
$$
$$
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
$$
$$
\sin^2 x + \cos ^2 x = 1 \\
\tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}
$$
$$
\sin 2x = 2\sin x \cos x \\
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1-2\sin^2x = 2\cos^2 x -1
$$
等比数列
初項a、公比rのとき、
一般項：$${a_n=ar^{n-1}}$$
和：$${S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} (r \neq 1) =an (r=1)}$$
二次方程式
$${ax^2+bx+c=0}$$が虚数解をもつとき、
$${ax^2+bx+c>0}$$である。
定数の値
π＝3.141592…
e=2.171812…
WAZA CRAFT
相似比が$${m:n}$$のとき、面積比は$${m^2:n^2}$$である。
$${a\leqq0}$$なら、$${a=-\sqrt{a^2}}$$である。
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