行列の対角化

１ 対角行列

対角行列とは､対角線上の成分以外がすべて$${0}$$の正方行列をいう。
　　　$${\begin{bmatrix}  a   0   0  \\0   b   0\\0    0    c\end{bmatrix}}$$　　　$${\begin{bmatrix}  a   0   0   0   ….  \\0   b   0    0   ….\\0    0    c   0    ….\\0   0    0    e   …. \\0   …   …   ...\end{bmatrix}}$$

２ 固有値、固有ベクトル

ある$${n}$$次正方行列$${\bm{A}(=\bm{0})}$$に対して
　$${\bm{Ax}=\lambda\bm{x}}$$　(1)
を満たす$${n}$$次元列ベクトル$${\bm{x}(\neq\bm{0})}$$と実数$${\lambda}$$が存在するとき、
$${\lambda}$$を$${\bm{A}}$$の固有値、$${\bm{x}}$$を$${\lambda}$$に対する固有ベクトルという。
$${n}$$次正方行列では、$${n}$$個の固有値$${\lambda_i  (i=1, …  ,n)}$$とそれぞれに対する固有ベクトル$${\bm{x_i}(i=1, …  ,n)}$$が存在する。
一般に$${\bm{x}}$$に$${\bm{A}}$$をかけると$${\bm{Ax}}$$は様々な方向のベクトルになるが、
固有値$${\lambda}$$に対する固有ベクトル$${\bm{x}}$$のときは$${\bm{Ax}}$$と$${\bm{x}}$$は同じ方向になる。

2-1 固有値の算出
　(1)$${\bm{Ax}=\lambda\bm{x}}$$　→　$${\bm{Ax}-\lambda\bm{x}=\bm{0}}$$
左から単位行列$${\bm{E}}$$（対角成分が1の対角行列）をかける
　$${\bm{EAx}-\bm{E}\lambda\bm{x}=\bm{0}}$$
　$${\bm{Ax}-\lambda\bm{Ex}=\bm{0}}$$　→　$${(\bm{A}-\lambda\bm{E})\bm{x}=\bm{0}}$$　(2)
$${\bm{x}=\bm{0}}$$なので
　$${\begin{vmatrix}\bm{A}-\lambda\bm{E}\end{vmatrix}=\bm{0}}$$（固有方程式という）
これを解くと$${n}$$個の固有値（$${\lambda_1, \lambda_2,  …  , \lambda_n }$$）が得られる。

2-2 固有ベクトルの算出
得られた$${n}$$個の固有値$${\lambda_i}$$をそれぞれ(2)に代入し
　$${(\bm{A}-\lambda_i\bm{E})\bm{x_1}=\bm{0}}$$
それぞれの$${\lambda_i}$$に対応する$${n}$$個の固有ベクトル$${\bm{x_i}}$$を求める。
ちなみに､それぞれの固有ベクトル$${\bm{x_i}}$$は線形独立である。
　$${c_1\bm{x_1}+c_2\bm{x_2}+  …  +c_n\bm{x_n}=\bm{0}}$$
　（$${c_1=c_2=  …  +c_n=0}$$しか解を持たない）
また$${A}$$が対称行列のときは､それぞれの固有ベクトル$${\bm{x_i}}$$は直交している。

３ 行列の対角化（変換行列による）

固有ベクトル$${\bm{x_i}}$$を線形結合した行列$${\bm{P}\neq\bm{0})}$$は、$${\bm{A}}$$を$${\bm{P}^-1}$$と$${\bm{P}}$$で両側からかけることで固有ベクトル$${\lambda_i}$$を対角成分とする対角行列になる。（行列の対角化。$${\bm{P}}$$を変換行列という）
　$${\bm{P}=\begin{bmatrix}\bm{x_1   x_2  …  x_n}\end{bmatrix}}$$　　　$${\bm{P}^{-1}\bm{AP}=\begin{bmatrix}  \lambda_1   0     0   …  \\0     \lambda_2    0   …\\0     0     \lambda_3  …\\…   …   …\\ …    …    \lambda_n\end{bmatrix}}$$　

具体的な算出
3-1 $${\bm{A}=\begin{bmatrix}  3               4\\-1    -2\end{bmatrix}}$$のとき
　(1)$${\bm{Ax}=\lambda\bm{x}}$$ → (2)$${(\bm{A}-\lambda\bm{E})\bm{x}=\bm{0}}$$ → $${\begin{vmatrix}\bm{A}-\lambda\bm{E}\end{vmatrix}=\bm{0}}$$
　$${\bm{A}}$$を代入
　　$${\begin{vmatrix}  3               4\\-1    -2\end{vmatrix}-\lambda\begin{vmatrix}  1       0\\0       1\end{vmatrix}=0}$$　→　　$${\begin{vmatrix}3-\lambda               4   \\-1       -2-\lambda\end{vmatrix}=0}$$
　　$${(3-\lambda)(-2-\lambda)-4(-1)=0}$$　→　$${-6-\lambda+\lambda^2+4=0}$$
　　→　$${\lambda^2-\lambda-2=0}$$　→　$${(\lambda-2)(\lambda+1)=0}$$
　　よって　固有値$${\lambda=2(=\lambda_1),  -1(=\lambda_2)}$$
　$${\lambda_1=2}$$のとき
　　$${\lambda_1}$$に対する固有ベクトルを$${\bm{x_1}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}}$$として
　　(2)$${(\bm{A}-\lambda\bm{E})\bm{x}=\bm{0}}$$に代入
　　$${\Big(\begin{bmatrix}  3               4\\-1    -2\end{bmatrix}-\lambda_1\begin{bmatrix} 1          0\\0       1\end{bmatrix}\Big)\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$　→　$${\begin{bmatrix}  3-\lambda_1               4\\-1    -2-\lambda_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$
　　→　$${\begin{bmatrix}  3-2               4\\-1    -2-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$　→　$${\begin{bmatrix}  1               4\\-1    -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$
　　$${a_1+4a_2=0}$$　→　$${a_1=4k_1,  a_2=-k_1(k_1\neq0)}$$
　　よって、固有ベクトル$${\bm{x_1}=k_1\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}}$$
　$${\lambda_2=-1}$$のとき
　　$${\lambda_2}$$に対する固有ベクトルを$${\bm{x_2}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}}$$として
　　同様に(2)$${(\bm{A}-\lambda\bm{E})\bm{x}=\bm{0}}$$に代入
　　$${\Big(\begin{bmatrix}  3               4\\-1    -2\end{bmatrix}-\lambda_2\begin{bmatrix} 1          0\\0       1\end{bmatrix}\Big)\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$　→　$${\begin{bmatrix}  3-\lambda_2               4\\-1    -2-\lambda_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$
　　→　$${\begin{bmatrix}  3-(-1)               4\\-1    -2-(-1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$　→　$${\begin{bmatrix}  4             4\\-1   -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$
　　$${b_1+4b_2=0}$$　→　$${b_1=k_2,  b_2=-k_2(k_2\neq0)}$$
　　よって、固有ベクトル$${\bm{x_2}=k_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$$
　対角化の確認
　　変換行列$${\bm{P}=\begin{bmatrix}\bm{x_1}    \bm{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}    \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4             1\\-1  -1\end{bmatrix}}$$
　　$${\begin{bmatrix}a     b\\c     d\end{bmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d    -b\\-c       a\end{bmatrix}}$$なので
　　$${\bm{P}^{-1}=\dfrac{1}{4×(-1)-1×(-1)}\begin{bmatrix}-1  -1\\1            4\end{bmatrix}=-\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}-1  -1\\1            4\end{bmatrix}}$$

　　$${\bm{P}^{-1}\bm{A}\bm{P}=-\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}-1  -1\\1            4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  3               4\\-1    -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4             1\\-1  -1\end{bmatrix}}$$
　　　　$${=-\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}-1×3-1×(-1)     -1×4-1×(-2)\\1×3+4×(-1)                 1×4+4×(-2)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4             1\\-1  -1\end{bmatrix}}$$
　　　　$${=-\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}-3+1   -4+2\\   3-4               4-8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4             1\\-1  -1\end{bmatrix}=-\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}-2   -2\\-1    -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4             1\\-1  -1\end{bmatrix}}$$
　　　　$${=-\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}-2×4-2×(-1)   -2×1-2×(-1)\\-1×4-4×(-1)    -1×1-4×(-1)\end{bmatrix}}$$
　　　　$${=-\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}-8+2     -2+2\\-4+4    -1+4\end{bmatrix}}$$
　　　　$${=-\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}-6     0\\  0         3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2             0\\0   -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_1        0\\  0         \lambda_2\end{bmatrix}}$$

3-2 $${\bm{A}=\begin{bmatrix} 2             2\\2    -1\end{bmatrix}}$$（対称行列）のとき
　(1)$${\bm{Ax}=\lambda\bm{x}}$$ → (2)$${(\bm{A}-\lambda\bm{E})\bm{x}=\bm{0}}$$ → $${\begin{vmatrix}\bm{A}-\lambda\bm{E}\end{vmatrix}=\bm{0}}$$
　$${\bm{A}}$$を代入
　　$${\begin{vmatrix}2-\lambda               2   \\2       -1-\lambda\end{vmatrix}=0}$$
　　$${(2-\lambda)(-1-\lambda)-2×2=0}$$　→　$${-2-\lambda+\lambda^2-4=0}$$
　　→　$${\lambda^2-\lambda-6=0}$$　→　$${(\lambda-3)(\lambda+2)=0}$$
　　よって　固有値$${\lambda=3(=\lambda_1),  -2(=\lambda_2)}$$
　$${\lambda_1=3}$$のとき
　　$${\lambda_1}$$に対する固有ベクトルを$${\bm{x_1}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}}$$として
　　(2)$${(\bm{A}-\lambda\bm{E})\bm{x}=\bm{0}}$$に代入
　　$${\begin{bmatrix}2-\lambda_1             2      \\       2        -1-\lambda_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$　→　$${\begin{bmatrix}  2-3               2\\2    -1-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$
　　→　$${\begin{bmatrix}-1          2\\2    -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$
　　$${-a_1+2a_2=0}$$　→　$${a_1=2k_1,  a_2=k_1(k_1\neq0)}$$
　　よって、固有ベクトル$${\bm{x_1}=k_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}$$
　$${\lambda_2=-2}$$のとき
　　$${\lambda_2}$$に対する固有ベクトルを$${\bm{x_2}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}}$$として
　　同様に(2)$${(\bm{A}-\lambda\bm{E})\bm{x}=\bm{0}}$$に代入
　　$${\begin{bmatrix}  2-\lambda_2           2        \\        2      -1-\lambda_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$　→　$${\begin{bmatrix}  2-(-2)               2\\2    -1-(-2)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$
　　→　$${\begin{bmatrix}4       2\\2       1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\bm{0}}$$
　　$${4b_1+2b_2=0}$$　→　$${b_1=k_2,  b_2=-2k_2(k_2\neq0)}$$
　　よって、固有ベクトル$${\bm{x_2}=k_2\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}}$$
　　※２つの固有ベクトル$${\bm{x_1}=k_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}$$､$${\bm{x_2}=k_2\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}}$$ は$${\underline{直交している}}$$。
　対角化の確認
　　変換行列$${\bm{P}=\begin{bmatrix}\bm{x_1}    \bm{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2           1\\1  -2\end{bmatrix}}$$
　　$${\bm{P}^{-1}=\dfrac{1}{2×(-2)-1×1}\begin{bmatrix}-2  -1\\-1            2\end{bmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}2           1\\1   -2\end{bmatrix}}$$
　　$${\bm{P}^{-1}\bm{A}\bm{P}=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}2             1\\1    -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2             2\\2    -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2           1\\1  -2\end{bmatrix}}$$
　　　　$${=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}4+2       4-1\\2-4        2+2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2           1\\1  -2\end{bmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}    6          3\\-2       4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2           1\\1  -2\end{bmatrix}}$$
　　　　$${=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}12+3             6-6\\-4+4    -2-8\end{bmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}15              0\\ 0   -10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3             0\\0   -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_1        0\\  0         \lambda_2\end{bmatrix}}$$

４ 対称行列の対角化（直交行列による）

直交行列によっても対称行列は対角化できる。
このほうが手数が多いが､主軸変換（主軸の回転）に必要な方法である。
4-1 前置き
　対称行列
　　行と列を入れ替えた正方行列を転置行列といい
　　対称行列はその行列は転置行列と等しい。
　　　$${\bm{A}=^t\bm{A}}$$　(3)
　直交行列
　　転置行列と逆行列が等しい行列を直交行列という。
　　　$${^t \bm{U}=\bm{U}^{-1}}$$　(4)
　正規化
　　ベクトルの長さを１にすることをベクトルの正規化という。
　　具体的には､ベクトルをその長さで割る。
　　　$${\bm{u}=\dfrac{\bm{x}}{\|x\|}}$$　(3)　ただし､$${\|x\|=\sqrt{\sum {x_i}^2}}$$
4-2 手順
　対称行列$${\bm{A}}$$を対角化する。
　まず３の手順に従って固有値$${\lambda_i}$$と固有ベクトル$${\bm{x_i}}$$を求める。
　固有ベクトルを正規化する。
　　$${\bm{u_i}=\dfrac{1}{\|x_i\|}\bm{x_i}}$$
　直交行列$${U}$$（正規化された変換ベクトル）を求める。
　　$${\bm{U}=\begin{bmatrix}\bm{u_1}   \bm{u_2} …  \bm{u_n}\end{bmatrix}}$$
　　$${\bm{U}^{-1}=^t\bm{U}}$$
　対角化する
　　$${\bm{U}^{-1}\bm{A}\bm{U}=^t\bm{U}\bm{A}\bm{U}= …  =\begin{bmatrix}  \lambda_1   0     0   …  \\0     \lambda_2    0   …\\0     0     \lambda_3  …\\…   …   …\\ …    …    \lambda_n\end{bmatrix}}$$
4-3 具体的な算出
　$${\bm{A}=\begin{bmatrix}3      2\\2      3\end{bmatrix}}$$を対角化する。
　固有値を求める。
　　$${\bm{A}\bm{x}=\lambda\bm{Ex}}$$
　　$${\begin{bmatrix}3-\lambda         2\\2         3-\lambda\end{bmatrix}\bm{x}=\bm{0}}$$　→　$${(3-\lambda)^2-2^2=0}$$　→　$${(5-\lambda)(1-\lambda)=0}$$
　　$${\lambda=1(=\lambda_1),  5(=\lambda_2)}$$
　固有ベクトルを求める。
　　$${\lambda=1(=\lambda_1)}$$のとき
　　　$${\begin{bmatrix}3-1        2\\2        3-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=0}$$　→　$${2a_1+2a_2=0}$$　→　$${\bm{x_1}=k_1\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$$
　　　正規化すると　$${\bm{u_1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$$
　　$${\lambda=5(=\lambda_2)}$$のとき
　　　$${\begin{bmatrix}3-5        2\\2        3-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=0}$$　→　$${-2b_1+2b_2=0}$$　→　$${\bm{x_2}=k_2\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$$
　　　正規化すると　$${\bm{u_2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$$
　　直交化行列$${\bm{U}}$$を求める。
　　　$${\bm{U}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}  1           1\\-1       1\end{bmatrix}}$$
　　　$${\bm{U}^{-1}=  ^t\bm{U}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1  -1\\1           1\end{bmatrix}}$$
　　$${\bm{A}}$$を対角化する。
　　　$${^t\bm{U}\bm{A}\bm{U}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1  -1\\1           1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3      2\\2      3\end{bmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}  1           1\\-1       1\end{bmatrix}}$$
　　　　　$${=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}3-2         2-3\\3+2          2+3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1           1\\-1       1\end{bmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}1  -1\\5          5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1           1\\-1       1\end{bmatrix}}$$
　　　　　$${=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}1+1         1-1\\5-5          5+5\end{bmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}2           0\\0       10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1         0\\0         5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_1       0\\0        \lambda_2\end{bmatrix}}$$

５ 主軸変換

　　$${3x^2+4xy+3y^2=5}$$のグラフは多分傾いた楕円である。

　座標系Oｰxyでの記述$${3x^2+4xy+3y^2=0}$$を楕円の長軸と短軸を通る
　新しい座標系Ox'y'の記述への変換を考える。
　まず$${3x^2+4xy+3y^2=5}$$の左辺を対称行列を用いた形に変形する。
　　$${3x^2+4xy+3y^2=\begin{bmatrix}x   y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a   c\\c    b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$
　　　　　$${=\begin{bmatrix}ax+cy      cx+by\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax^2+2cxy+by^2\end{bmatrix}}$$
　よって　$${a=3,   b=3,   c=2}$$
　　$${3x^2+4xy+3y^2=\begin{bmatrix}x   y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3     2\\2     3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$
　$${\bm{A}=\begin{bmatrix}3     2\\2     3\end{bmatrix}}$$とし対角化を行う。
　4-2の結果より
　　固有値$${\lambda_1=1,   \lambda_2=5}$$
　　変換（直交）行列$${\bm{U}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}  1           1\\-1       1\end{bmatrix}}$$　　$${\bm{U}^{-1}=  ^t\bm{U}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1  -1\\1           1\end{bmatrix}}$$
　対角化の結果は
　　$${^t\bm{UAU}^{-1}=^t\bm{U}\begin{bmatrix}3   2\\2    3\end{bmatrix}\bm{U}^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda_1       0\\0        \lambda_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1         0\\0         5\end{bmatrix}}$$　(5)
　また
　　$${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\bm{U}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$$　(6)　　$${\begin{bmatrix}x   y\end{bmatrix}=^t\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$　(7)
　　$${3x^2+4xy+3y^2=5}$$　→　$${\begin{bmatrix}x   y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3   2\\2    3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=5}$$
　(6)(7)を代入
　　$${^t\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3   2\\2    3\end{bmatrix}\bm{U}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=5}$$
　(6)を代入
　　$${^t\begin{Bmatrix}\bm{U}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}\end{Bmatrix}    \begin{bmatrix}3   2\\2    3\end{bmatrix}\bm{U}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=5}$$　→　$${^t\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}  ^t\bm{U}\begin{bmatrix}3   2\\2    3\end{bmatrix}\bm{U}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=5}$$
　　$${\begin{bmatrix}x'    y'\end{bmatrix}  ^t\bm{U}\begin{bmatrix}3   2\\2    3\end{bmatrix}\bm{U}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=5}$$
　(5)を代入
　　$${\begin{bmatrix}x'    y'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1         0\\0         5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=5}$$　→　$${\begin{bmatrix}x'+0      0+5y'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=5}$$
　　$${x'^2+5y'^2=5}$$
　よって
　　$${\Big(\dfrac{x'}{\sqrt{5}}\Big)^2+\Big(\dfrac{y'}{1}\Big)^2=1}$$
　　$${x'}$$軸を長軸$${\sqrt{5}}$$､$${y'}$$軸を短軸$${1}$$とする楕円である。
　また(6)より
　　$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\bm{U}^{-1}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1  -1\\1           1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}  -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}           \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$
　　　　$${=\begin{bmatrix}  \cos(-45^\circ)           \sin(-45^\circ)\\-\sin(-45^\circ)           \cos(-45^\circ)  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$
　座標系O-x'y'は、座標系O-xyを時計回りに45°回転させたものである。

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