円錐振り子

糸の先の重りが水平面内で円運動する振り子を円錐振り子という。
糸の長さを$${l}$$、糸と鉛直線との角を$${\theta}$$、重りの質量を$${m}$$、糸の張力を$${S}$$、円運動の半径を$${r}$$、角速度を$${\omega}$$、周期を$${T}$$とする。（$${r=l\sin\theta}$$）

（運動方程式による解）

重りに働く力は重力$${mg}$$と糸の張力$${S}$$である。慣性系に対する円運動の加速度は円の中心に向かって$${r\omega^2=l\sin\theta\omega^2}$$である。
よって運動方程式は
　水平方向　$${ml\sin\theta\omega^2=S\sin\theta}$$
　鉛直方向　$${0=S\cos\theta-mg}$$
$${S}$$を消去して
　$${\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l\cos\theta}}}$$、$${T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{l\cos\theta}{g}}}$$

（つりあいの式による解）

重りと共に回転する座標系について考える。この系では重りは静止している。つり合いの式として
　水平方向　$${ml\sin\theta\omega^2ｰS\sin\theta=0}$$
　鉛直方向　$${S\cos\theta-mg=0}$$
以下同様　

（d’Lembertの原理による解）

重りに働く力として重力$${mg}$$と張力$${S}$$､仮想的に働く力（慣性抵抗）として遠心力$${ml\sin\theta\omega^2}$$を考える。各力の糸の傾き$${\theta}$$から$${\theta+\delta\theta}$$への仮想変位を考える。（鉛直線と糸を含む平面内での中心角$${\delta\theta}$$の扇形の接線方向の変位$${l\delta\theta}$$）
　$${mg}$$のする仕事　　　　 $${-mg\sin\theta×l\delta\theta}$$
　$${ml\sin\theta\omega^2}$$のする仕事　$${ml\sin\theta\omega^2 \cos\theta×l\delta\theta}$$
　$${S}$$の仕事　　　　　　　$${0}$$
よって
　$${-mg\sin\theta  l\delta\theta+ml\sin\theta\omega^2 \cos\theta. l\delta\theta=0}$$
$${m\sin\theta  l\delta\theta}$$で割って
　$${ｰg+l\omega^2\cos\theta=0}$$
以下同様