【院試解答】東大院 工学系 数学 2019年度 第2問【線形代数】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2019（平成31）年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

問題PDF

本記事に掲載されている解答および解説は、私が独自に作成したものであり、大学公式の模範解答ではありません。内容の正確性には細心の注意を払っておりますが、誤りや不備がある可能性もございます。読者様におかれましては、本記事を参考程度にとどめ、最終的な判断は自身で行っていただきますようお願いいたします。本記事の使用により生じたいかなる損害についても、私は一切の責任を負いかねますことをご了承ください。
©︎ 2021–2024 院試対策室, GOSHOURAKU Hirokouji

I.

1.

単位行列を$${\boldsymbol{I}}$$とする．固有方程式は

$$
\begin{aligned}
\det (\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})
&=\begin{vmatrix}
\lambda&0&-\frac{3}{2}\\
-2&\lambda&0\\
0&-\frac{1}{3}&\lambda
\end{vmatrix}\\
&=\lambda^3-1\\
&=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1)=0
\end{aligned}
$$

となるので，固有値$${\lambda}$$は

$$
\lambda=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}
$$

である．ここで，$${\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$$とおくと

$$
\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}~(=\overline{\omega})
$$

であるから，

$$
\lambda=1,\omega,\omega^2
$$

である．これらの固有値に対応する長さ1の固有ベクトルをそれぞれ$${\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3}$$とする．

まず$${\boldsymbol{v}_1}$$を求める．

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}
&=\begin{pmatrix}
1&0&-\frac{3}{2}\\
-2&1&0\\
0&-\frac{1}{3}&1
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}
2&0&-3\\
0&1&-3\\
0&0&0
\end{pmatrix}\\
&\left\{
\begin{aligned}
2x-3z&=0\\
y-3z&=0
\end{aligned}
\right.\\
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

よって，

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_1
&=\frac{1}{\sqrt{3^2+6^2+2^2}}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

である．

次に$${\boldsymbol{v}_2}$$を求める．

$$
\begin{aligned}
\omega\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}
&=\begin{pmatrix}
\omega&0&-\frac{3}{2}\\
-2&\omega&0\\
0&-\frac{1}{3}&\omega
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}
2&0&-3\omega^2\\
0&1&-3\omega\\
0&0&0
\end{pmatrix}\\
&\left\{
\begin{aligned}
2x-3\omega^2z&=0\\
y-3\omega z&=0
\end{aligned}
\right.\\
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

よって，

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_2
&=\frac{1}{\sqrt{3\omega^2\cdot\overline{3\omega^2}+6\omega\cdot\overline{6\omega}+2^2}}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

である．

最後に$${\boldsymbol{v}_3}$$を求める．

$$
\begin{aligned}
\omega^2\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}
&=\begin{pmatrix}
\omega^2&0&-\frac{3}{2}\\
-2&\omega^2&0\\
0&-\frac{1}{3}&\omega^2
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}
2&0&-3\omega\\
0&\omega&-3\\
0&0&0
\end{pmatrix}\\
&\left\{
\begin{aligned}
2x-3\omega z&=0\\
\omega y-3z&=0
\end{aligned}
\right.\\
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

よって，

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_3
&=\frac{1}{\sqrt{3\omega\cdot\overline{3\omega}+6\omega^2\cdot\overline{6\omega^2}+2^2}}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

である．

ゆえに，求めるすべての固有値は

$$
1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\tag{答}
$$

であり，対応する長さ1の固有ベクトルはそれぞれ

$$
\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix},\frac{1}{7}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\left(-1-\sqrt{3}i\right)\\3\left(-1+\sqrt{3}i\right)\\2\end{pmatrix},\frac{1}{7}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\left(-1+\sqrt{3}i\right)\\3\left(-1-\sqrt{3}i\right)\\2\end{pmatrix}\tag{答}
$$

である．