【院試解答】東大院 工学系 数学 2018年度 第3問【留数定理】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2018（平成30）年度の数学（一般教育科目）第3問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

問題PDF

この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I.

1.

$$
f(z)=\frac{z}{(z+i)(z-i)(z-1-ia)}
$$

であるから，$${f(z)}$$の極は

$$
z=\pm i,1+ia
$$

である．これらはすべて1位の極であるので，留数はそれぞれ

$$
\begin{aligned}
\mathrm{Res}f(i)
&=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)\\
&=\frac{i}{2i[(1-a)i-1]}\\
&=-\frac{1+i(1-a)}{2(a^2-2a+2)}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\mathrm{Res}f(-i)
&=\lim_{z\to -i}(z+i)f(z)\\
&=\frac{-i}{-2i[(-1-a)i-1]}\\
&=-\frac{1-i(1+a)}{2(a^2+2a+2)}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\mathrm{Res}f(1+ia)
&=\lim_{z\to 1+ia}(z-1-ia)f(z)\\
&=\frac{1+ia}{[1+(1+a)i][1-(1-a)i]}\\
&=\frac{2+a^2-ia^3}{a^4+4}
\end{aligned}
$$

である．