【院試解答】東大院 工学系 数学 2017年度 第1問【定積分・微分方程式】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2017（平成29）年度の数学（一般教育科目）第1問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

問題PDF

この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I.

解答

$${t=x-3}$$とおくと

$$
\begin{aligned}
I&=\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{(1+t)(1-t)}}\\
&=\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\\
&=2\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
\end{aligned}
$$

となる．$${t=\cos\theta}$$とおくと

$$
\begin{aligned}
I&=2\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-\sin\theta}{\sqrt{1-\cos^2\theta}}d\theta\\
&=2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin\theta}{|\sin\theta|}d\theta\\
&=2\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\\
&=2\cdot\frac{\pi}{2}
\end{aligned}
$$

$$
\therefore I=\pi\tag{答}
$$

である．

解説

広義積分を求める問題です．$${t=\cos\theta}$$とおかなくても

$$
(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$

から積分できると早いです．