【院試解答】東大院 工学系 数学 2019年度 第1問【微分方程式・積分】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2019（平成31）年度の数学（一般教育科目）第1問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

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この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I.

解答

$${t}$$を実数として，$${x\gt 0}$$のとき$${x=e^t}$$とおき，$${x\lt 0}$$のとき$${x=-e^t}$$とおく．これらをあわせて$${x=\pm e^t}$$（複号同順）と表すと，

$$
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx}
&=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dt}\\
&=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\frac{dy}{dt}\\
&=\frac{1}{\pm e^t}\frac{dy}{dt}\\
&=\pm e^{-t}\frac{dy}{dt}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\frac{d^2y}{dx^2}
&=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\\
&=\frac{dt}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\\
&=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\frac{d}{dt}\left(\pm e^{-t}\frac{dy}{dt}\right)\\
&=\frac{1}{\pm e^t}\left(\mp e^{-t}\frac{dy}{dt}\pm e^{-t}\frac{d^2y}{dt^2}\right)\\
&=-e^{-2t}\frac{dy}{dt}+e^{-2t}\frac{d^2y}{dt^2}\\
&=e^{-2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)
\end{aligned}
$$

となるから，

$$
\begin{aligned}
&\quad x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+y\\
&=e^{2t}e^{-2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)-\left(\pm e^t\right)\left(\pm e^{-t}\frac{dy}{dt}\right)+y\\
&=\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)-\frac{dy}{dt}+y\\
&=\frac{d^2y}{dt^2}-2\frac{dy}{dt}+y
\end{aligned}
$$

となる．よって，解くべき微分方程式は式(1)より

$$
\frac{d^2y}{dt^2}-2\frac{dy}{dt}+y=\pm e^{3t}
$$

となる．

まず，斉次解を求める．特性方程式を解くと

$$
\begin{aligned}
\lambda^2-2\lambda+1&=0\\
\left(\lambda-1\right)^2&=0\\
\lambda&=1
\end{aligned}
$$

であるから，斉次解は

$$
\begin{aligned}
y&=C_1e^t+C_2te^t\\
&=C_1x+C_2x\ln\left|x\right|
\end{aligned}
$$

である．ここで，$${C_1,C_2}$$は任意定数である．

次に，特殊解を求める．特殊解を$${y=Ae^{3t}}$$とおくと

$$
\begin{aligned}
\frac{d^2y}{dt^2}-2\frac{dy}{dt}+y
&=9Ae^{3t}-6Ae^{3t}+Ae^{3t}\\
&=4Ae^{3t}\\
4Ae^{3t}&=\pm e^{3t}
\end{aligned}
$$

となる．$${e^{3t}\ne 0}$$なので

$$
\begin{aligned}
4A&=\pm 1\\
A&=\pm\frac{1}{4}
\end{aligned}
$$

となる．よって，特殊解は

$$
\begin{aligned}
y
&=\pm\frac{1}{4}e^{3t}\\
&=\frac{1}{4}x^3
\end{aligned}
$$

である．

したがって，一般解は

$$
y=C_1x+C_2x\ln\left|x\right|+\frac{1}{4}x^3\tag{答}
$$

である．

この一般解は定義域を$${x\ne 0}$$として求めたものであるが，任意定数$${C_1,C_2}$$の値によらず$${x\to 0}$$のとき$${y\to 0}$$となっており，たしかに式(1)を満たしている．

解説

オイラーの微分方程式です．