【院試解答】東大院 工学系 数学 2019年度 第5問【フーリエ変換】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2019（平成31）年度の数学（一般教育科目）第5問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

問題PDF

本記事に掲載されている解答および解説は、私が独自に作成したものであり、大学公式の模範解答ではありません。内容の正確性には細心の注意を払っておりますが、誤りや不備がある可能性もございます。本記事の使用により生じたいかなる損害についても、私は一切の責任を負いかねますことをご了承ください。
©︎ 2021–2024 院試対策室, GOSHOURAKU Hirokouji

I.

解答

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}\left\{f'(x)\right\}(u)
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f'(x)\exp(-iux)dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[f(x)\exp(-iux)\right]_{-\infty}^\infty\\
&\quad-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\left[-iuf(x)\exp(-iux)\right]dx\\
&=0+iu\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)\exp(-iux)dx
\end{aligned}
$$

$$
\therefore\mathcal{F}\left\{f'(x)\right\}(u)=iu\hat{f}(u)\tag{答}
$$

解説

微分（導関数）と他の関数の積を積分するので部分積分を行いました．
4行目では，$${|x|\to\infty}$$で$${f(x)\to 0}$$となることを用いています．