【院試解答】東大院 情報理工 数学 2024年度 第1問【複数平面・直線との距離最小化】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．2024年度の数学（一般教育科目）第1問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

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本記事に掲載されている解答および解説は、私が独自に作成したものであり、大学公式の模範解答ではありません。内容の正確性には細心の注意を払っておりますが、誤りや不備がある可能性もございます。本記事の使用により生じたいかなる損害についても、私は一切の責任を負いかねますことをご了承ください。
©︎ 2024 院試対策室, GOSHOURAKU Hirokouji

(1)

解答

行列$${\bold{A}}$$の階数が3となるのは行列式が$${\det{\bold{A}}\ne 0}$$を満たすときである．

まず，$${\bm{n}_1,\bm{n}_2,\bm{n}_3}$$は一次独立であるから，$${(\bm{n}_1,\bm{n}_2,\bm{n}_3)}$$は$${\mathbb{R}^3}$$の基底である．よって，ベクトル$${\bm{n}_4}$$は$${a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}}$$を用いて

$$
\bm{n}_4=a_1\bm{n}_1+a_2\bm{n}_2+a_3\bm{n}_3\tag{イ}
$$

と表せる．ただし，$${\bm{n}_4}$$は単位長ベクトルであるから

$$
\begin{aligned}
\|\bm{n}_4\|^2
&=\bm{n}_4^\mathrm{T}\bm{n}_4\\
&=(a_1\bm{n}_1+a_2\bm{n}_2+a_3\bm{n}_3)^\mathrm{T}(a_1\bm{n}_1+a_2\bm{n}_2+a_3\bm{n}_3)\\
&=a_1^2+a_2^2+a_3^2+2a_1a_2\bm{n}_1^\mathrm{T}\bm{n}_2+2a_2a_3\bm{n}_2^\mathrm{T}\bm{n}_3+2a_3a_1\bm{n}_3^\mathrm{T}\bm{n}_1\\
&=1
\end{aligned}
$$

である．また，$${\bm{n}_4\nparallel\bm{n}_1,\bm{n}_2,\bm{n}_3}$$であるから内積が$${\pm 1}$$ではない，すなわち

$$
\begin{cases}
-1\lt\bm{n}_1^\mathrm{T}\bm{n}_4\lt 1\\
-1\lt\bm{n}_2^\mathrm{T}\bm{n}_4\lt 1\\
-1\lt\bm{n}_3^\mathrm{T}\bm{n}_4\lt 1\\
\end{cases}
$$

$$
\therefore\begin{cases}
-1\lt a_1+a_2\bm{n}_1^\mathrm{T}\bm{n}_2+a_3\bm{n}_3^\mathrm{T}\bm{n}_1\lt 1\\
-1\lt a_1\bm{n}_1^\mathrm{T}\bm{n}_2+a_2+a_3\bm{n}_2^\mathrm{T}\bm{n}_3\lt 1\\
-1\lt a_1\bm{n}_3^\mathrm{T}\bm{n}_1+a_2\bm{n}_2^\mathrm{T}\bm{n}_3+a_3\lt 1\\
\end{cases}
$$

である．

行列式の多重線形性により

$$
\begin{aligned}
\det\bold{A}
&=
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}-\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}-\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}-\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}\\
&=
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}-\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}-\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}-\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}-\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}\\
&=\left(
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}-\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}-\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
\right)
-\left(
\begin{vmatrix}
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}-\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}-\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
\right)\\
&=
\left[
\left(
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
\right)
-\left(
\cancel{
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
}
-
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
\right)
\right]
-
\left[
0-
\left(
\cancel{
\begin{vmatrix}
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
}
-
\begin{vmatrix}
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
\right)
\right]\\
&=
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_4^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

となる．ここに式(イ)を代入すると

$$
\begin{aligned}
\det\bold{A}
&=
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
a_3
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
+
a_2
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
a_1
\begin{vmatrix}
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}\\
&=
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
a_3
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
a_2
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
-
a_1
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}\\
&=(1-a_1-a_2-a_3)
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}\\
\end{aligned}
$$

となる．$${\bm{n}_1,\bm{n}_2,\bm{n}_3}$$は一次独立のため

$$
\begin{vmatrix}
\bm{n}_1^\mathrm{T}\\
\bm{n}_2^\mathrm{T}\\
\bm{n}_3^\mathrm{T}\\
\end{vmatrix}
\ne 0
$$

であるから，$${\det{\bold{A}}\ne 0}$$となるのは

$$
a_1+a_2+a_3\ne 1
$$

のときである．

以上より，$${\bold{A}}$$の階数が3となるような$${\bm{n}_4}$$に関する条件は，

$$
\bm{n}_4=\Set{
a_1\bm{n}_1+a_2\bm{n}_2+a_3\bm{n}_3
|
\begin{gathered}
a_1^2+a_2^2+a_3^2+2a_1a_2\bm{n}_1^\mathrm{T}\bm{n}_2+2a_2a_3\bm{n}_2^\mathrm{T}\bm{n}_3+2a_3a_1\bm{n}_3^\mathrm{T}\bm{n}_1=1\\
-1\lt a_1+a_2\bm{n}_1^\mathrm{T}\bm{n}_2+a_3\bm{n}_3^\mathrm{T}\bm{n}_1\lt 1\\
-1\lt a_1\bm{n}_1^\mathrm{T}\bm{n}_2+a_2+a_3\bm{n}_2^\mathrm{T}\bm{n}_3\lt 1\\
-1\lt a_1\bm{n}_3^\mathrm{T}\bm{n}_1+a_2\bm{n}_2^\mathrm{T}\bm{n}_3+a_3\lt 1\\
a_1+a_2+a_3\ne 1\\
\end{gathered}
}
$$

である．

解説

問題が粗略なため面食らうかもしれませんが，白紙解答は避けて方針だけでも記入するようにしましょう．このような大雑把な問題に対しては試験本番では深追いせずに次の問題へ進むのが賢明な対応だと思います．

答に関して説明すると，特に$${\bm{n}_1,\bm{n}_2,\bm{n}_3}$$が正規直交基底の場合を考えれば

$$
\bm{n}_4=\Set{
a_1\bm{n}_1+a_2\bm{n}_2+a_3\bm{n}_3
|
\begin{gathered}
a_1^2+a_2^2+a_3^2=1\\
-1\lt a_1\lt 1\\
-1\lt a_2\lt 1\\
-1\lt a_3\lt 1\\
a_1+a_2+a_3\ne 1\\
\end{gathered}
}
$$

となり，$${(a_1,a_2,a_3)}$$は単位球面上の点で，各成分が$${\pm 1}$$になることはなく，3点$${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$$を通る平面上にもないという条件になることがわかります．この平面上にないという条件が行列$${\bold{A}}$$がフルランク（階数が3）となることに相当し，その他の条件は問題リード文の仮定からの要請です．