【院試解答】東大院 工学系 数学 2024年度 第1問【微分積分および微分方程式】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2024年度の数学（一般教育科目）第1問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

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本記事に掲載されている解答および解説は、私が独自に作成したものであり、大学公式の模範解答ではありません。内容の正確性には細心の注意を払っておりますが、誤りや不備がある可能性もございます。本記事の使用により生じたいかなる損害についても、私は一切の責任を負いかねますことをご了承ください。
©︎ 2024 院試対策室, GOSHOURAKU Hirokouji

#大学数学 #院試過去問 #院試解答 #東大院試 #微分方程式 #逆三角関数

I.

解答

$${y(1-y)\ne 0}$$であるから

$$
\frac{1}{y(1-y)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1
$$

となる．両辺を$${x}$$で積分すると

$$
\int\frac{\mathrm{d}y}{y(1-y)}=\int\mathrm{d}x
$$

となる．ここで，$${A}$$を積分定数として

$$
\begin{aligned}
\int\frac{\mathrm{d}y}{y(1-y)}
&=\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)\mathrm{d}y\\
&=\log|y|-\log|1-y|+A\\
&=\log y-\log(1-y)+A\\
&=\log\frac{y}{1-y}+A
\end{aligned}
$$

であるから

$$
\begin{aligned}
\log\frac{y}{1-y}+A&=x\\
\log\frac{y}{1-y}&=x-A\\
\frac{y}{1-y}&=e^{x-A}\\
&=e^{-A}e^x\\
y&=e^{-A}e^x(1-y)
\end{aligned}
$$

$$
\therefore y=\frac{e^{-A}e^x}{1+e^{-A}e^x}
$$

となる．$${C=e^A}$$とおくと

$$
y=\frac{e^x}{C+e^x}\tag{答}
$$

である．

別解

$${y\ne 0}$$であるから，式(1)の両辺を$${y^2}$$で割ると

$$
\frac{1}{y^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{y}-1
$$

となる．ここで，$${u=y^{-1}}$$とおくと

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}
&=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\
&=-\frac{1}{y^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
\end{aligned}
$$

であるから，$${A}$$を積分定数として

$$
\begin{aligned}
-\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}&=u-1\\
\frac{1}{1-u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}&=1\\
\int\frac{\mathrm{d}u}{1-u}&=\int\mathrm{d}x\\
-\log|1-u|&=x+A\\
-\log(u-1)&=x+A\\
\log(u-1)&=-x-A\\
u-1&=e^{-x-A}\\
u&=1+e^{-x-A}\\
\frac{1}{y}&=1+e^{-A}e^{-x}\\
y&=\frac{1}{1+e^{-A}e^{-x}}\\
&=\frac{e^x}{e^x+e^{-A}}\\
\end{aligned}
$$

となる．$${C=e^{-A}}$$とおくと

$$
y=\frac{e^x}{C+e^x}\tag{答}
$$

である．

解説

ロジスティック方程式において$${r=K=1}$$とした微分方程式の問題です．変数分離法（解答）またはベルヌーイの微分方程式（別解）として解くことができます．変数分離法では部分分数分解を行い積分を計算します．