【中学数学】式による証明

＜基本の考え方＞

手順①
「ＡはＢである」ことを証明するので
問題文からＡ、Ｂをそれぞれ読み解く。

手順②
Ａ、Ｂをそれぞれ式に表す。
「連続する…」ときの文字は１種類で
その他は状況に合わせて
文字の種類を用意してください。
　　偶数：2n、2mなど
　　奇数：2n-1、2n+1など
　〇の倍数：〇m、〇(　　)

手順③
Ａ＝Ｂを証明する
　　ＡをＢに変形する
　　ＢをＡに変形する
　　ＡをＣに、ＢをＣにそれぞれ変形する

＜例題１＞

奇数と奇数の和は偶数であることを証明せよ。

手順①
A：奇数と奇数の和
B：偶数

手順②
A：(2m-1)+(2n-1)
B：2p

手順③
Aの式を整理して2〇か２(　　)の形にする


[解説]
ここまで準備できたら
あとは手順通りに書けばいいだけ(｀・ω・´)ゞ

と、その前に文字を使う場合には
その文字が何を表しているのかを
予め示さなければなりません。

今回は偶数・奇数という整数の話ですので
文字が小数や分数では困ります。

文字を同じにしてしまうと
同じ奇数同士という限定条件になってしまうので
文字を２種類つかうことで
どんな奇数でも成り立つことが証明できます。

証明の流れとしては
　　文字の設定
　　　　↓
　　文字式で表して式を整理
　　　　↓
　　問題の条件に合うことを明記
　　　　↓
　　結論を書く
という形になります。

証明が苦手な人は
上の流れをテンプレート化してください。


[解答例]
m、nを整数とすると２つの奇数は
           2m-1、2n-1
と表される。

この２つの奇数の和は
           　(2m-1)+(2n-1)
           =2m+2n
           =2(m+n)
となる。

m+nは整数だから
2(m+n)は偶数になる。

よって
奇数と奇数の和は偶数である

＜例題２＞

連続する５つの整数の和は５の倍数であることを
証明せよ


手順①
A：連続する５つの整数の和
B：５の倍数

手順②
A：(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
B：5p

手順③
Aの式を整理して5〇か5(　　)の形にする


[解説]
連続するので文字は１種類使います。

連続する場合は真ん中を基準にすると
計算するときに相殺されて
簡単な式になりやすいです。


[解答例]
nを整数とすると連続する５つの整数は
           n-2、n-1、n、n+1、n+2
と表される。

５つの整数の和は
           　(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
           =5n
となる。

nは整数だから
5nは５の倍数になる。

よって
連続する５つの整数の和は５の倍数である

＜例題３＞

７で割ると余りが３になる整数と７で割ると余りが
４になる整数の和は７の倍数であることを証明せ
よ。


手順①
A：７で割ると余りが３になる整数と７で割ると余
りが４になる整数の和
B：７の倍数

手順②
A：(7m+3)+(7n+4)
B：7p

手順③
Aの式を整理して7〇か7(　　)の形にする


[解説]
連続しないので文字は２種類使う。

わり算を式で表すときは
           〇÷７＝△・・・３
とするのではなく
           ７×△＋３＝〇
といった検算の式にします。

７で割ると余りが３になる整数は
           7m+3
と表します。


[解答例]
m、nを整数とすると７で割ると余りが３になる整数
と７で割ると余りが４になる整数は
           7m+3、7n+4
と表される。

この２つの数の和は
           　(7m+3)+(7n+4)
           =7m+7n+7
           =7(m+n+1)
となる。

m+nは整数だから
7(m+n+1)は７の倍数になる。

よって
７で割ると余りが３になる整数と７で割ると余りが
４になる整数の和は７の倍数である

＜例題４＞

２けたの自然数とその自然数の十の位と一の位を
入れかえた自然数の和は、11の倍数であることを
証明せよ。


手順①
A：２けたの自然数とその自然数の十の位と一の
位を入れかえた自然数の和
B：11の倍数

手順②
A：(10m+n)+(10n+m)
B：11p

手順③
Aの式を整理して11〇か11(　　)の形にする


[解説]
２けた以上の自然数の表し方ですが
例えば54は
           10×５＋１×４
と位ごとに分解できますので、
これに文字を当てはめます。


[解答例]
m、nを自然数とすると２けたの自然数は
           10m+n
と表される。

また、十の位と一の位を入れかえた自然数は
           10n+m
と表される。


この２つの数の和は
           　(10m+n)+(10n+m)
           =11m+11n
           =11(m+n)
となる。

m+nは自然数だから
11(m+n)は11の倍数になる。

よって
２けたの自然数とその自然数の十の位と一の位を
入れかえた自然数の和は、11の倍数である