ガンマ関数の定義と階乗との関係

はじめに

ガンマ関数は階乗の一般化として知られている有名な関数である. 統計学の分野ではガンマ分布やスターリングの公式による近似などで出てくる. 本記事ではガンマ関数の定義とその性質について, 備忘録としてまとめておく.

定義

実部が正となる複素数$${z}$$に対して, 

$$
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z - 1} e^{-t} dt \ (\rm{\bf{Re}} z > 0)
$$

をガンマ関数とよぶ. 特に$${z = a}$$が実数のとき

$$
\Gamma(a) = \int_0^\infty x^{a - 1} e^{- x} dx , \ (a > 0)
$$

となる.

階乗に関する性質

ガンマ関数は下記の性質より階乗の複素数への拡張とみなせる.

性質

ガンマ関数について, 次が成り立つ.

$$
\begin{align}
\Gamma (1) &= 1 \notag \\
\Gamma (z + 1) &= z \Gamma (z) \notag \\
\Gamma (n) &= (n - 1)! \ (n \in \mathbb{N}) \notag
\end{align}
$$

証明

$$
\begin{align}
\Gamma(1) &= \int_0^\infty e^{- x} dx \notag \\
&= \left[ - e^{-t} \right]_0^\infty \notag \\
&= 1 \notag 
\end{align}
$$

また, 

$$
\begin{align}
\Gamma (z + 1) &= \int_0^\infty t^{z} e^{-t} dt \notag \\
&= \left[ - e^{-t} t^z \right]_0^\infty + z \int_0^\infty t^{z - 1} e^{-t} dt \notag \\
&= z \Gamma (z) \notag
\end{align}
$$

である. よって, 

$$
\begin{align}
\Gamma (n) &= (n - 1) \Gamma (n - 1) \notag \\
&= (n - 1)(n - 2) \Gamma (n - 2) \notag \\
&= \cdots \notag \\
&= (n - 1)(n - 2) \times \cdots \times 1 \times \Gamma (1) \notag \\
&= (n - 1)! \notag
\end{align}
$$

となる. $${\square}$$

例

$$
\Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \\
\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\
\Gamma \left(\frac{1}{2} + n \right) = \frac{(2n - 1)!!}{2^n} \sqrt{\pi}
$$

ただし, $${!!}$$は二重階乗であり, $${(2n - 1)!! = (2n - 1)(2n - 3) \cdots 3 \cdot 1}$$である.

$${(proof)}$$

$$
\begin{align}
\Gamma \left(\frac{1}{2} \right) &= \int_0^\infty t^{- \frac{1}{2}} e^{-t} dt \notag 
\end{align}
$$

$${t = u^2}$$とおくと$${dt = 2u du}$$より

$$
\begin{align}
\int_0^\infty t^{- \frac{1}{2}} e^{-t} dt &= \int_0^\infty u^{- 1} e^{-u^2} 2u du \notag \\
&= 2 \int_0^\infty e^{-u^2} du \notag \\
&= \sqrt{\pi} \ (\because \text{ガウス成分})\notag
\end{align}
$$

よって, $${\Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}}$$となる.

また, $${\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2} \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}}$$となる.

さらに, 

$$
\begin{align}
\Gamma \left(\frac{1}{2} + n \right) &= \Gamma \left(\frac{2n + 1}{2} \right) \notag \\
&= \left(\frac{2n - 1}{2} \right) \Gamma \left(\frac{2n - 1}{2} \right) \notag \\
&= \left(\frac{2n - 1}{2} \right) \left(\frac{2n - 3}{2} \right) \Gamma \left(\frac{2n - 3}{2} \right) \notag \\
&= \cdots \notag \\
&= \frac{(2n - 1)!!}{2^n} \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) \notag \\
&= \frac{(2n - 1)!!}{2^n} \sqrt{\pi} \notag
\end{align}
$$

となる. $${\square}$$

参考

ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質 | 高校数学の美しい物語

ガンマ関数 - Wikipedia

ガウス積分 - Wikipedia