ガンマ関数の一般式(なのか？)とりあえず計算してみる

前の2記事で、部分積分を無限級数として解くことと、不完全ガンマ関数が相補誤差関数の類似の関数に変数変換で移すことができることを、仮説に近い説明度として示した。
そこで、とりあえず、ガンマ関数の一般式を示す方法を模索してみる。

$${\int t^{a-1}e^{-t}dt}$$について、$${t^a=u}$$として、定義範囲に注意して変数変換すると、$${t^{a-1}dt=du}$$より、

$${\int t^{a-1}e^{-t}dt→\int e^{-u^{1/a}}du}$$今回はこれを認めているという前提で考える。

$${\int t^{a-1}e^{-t}dt}$$から変数変換した、$${\int e^{-u^{1/a}}du}$$について、一方の項をu、もう一方の項を$${e^{-u^{1/a}}}$$として、部分積分を考える。

$${\int e^{-u^{1/a}}du=ue^{-u^{1/a}}+\dfrac{1}{(a+1)}u^{1+1/a}e^{-u^{1/a}}+\dfrac{1}{(a+1)(a+2)}u^{1+2/a}e^{-u^{1/a}}…}$$

予想される無限級数の一般項は、

$${a_1=ue^{-u^{1/a}},a_n=\dfrac{a!}{(a+n-1)!}u^{1+n/a}u^{-1/a}e^{-u^{1/a}}}$$

よって、一般項の無限和は、テイラー展開から示すが、階乗の部分を、0から∞までと0からaまでとに分けて、一方には指数関数としてまとめ、一方は漸化式として解いて、総和を求める。また、ここからはaは自然数の範囲で考える。

$${\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sum\limits_n \dfrac{u^{n/a+1}}{\prod_{k=0}^{n-1} (k+a)}e^{-u^{1/a}}+ue^{-u^{1/a}}}$$

$${\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=(a!\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{u^{n/a}}{(n)!}-a!\sum\limits_{n=0}^{a} \dfrac{u^{k/a}}{k!}+u)e^{-u^{1/a}}}$$

$${\sum\limits_n \dfrac{u^{k/a}}{k!}}$$については、一般式は$${\dfrac{\int_0^{-u^{1/a}} x^ae^xdx}{a!e^{-u^{1/a}}}}$$となる。これは元の式をxの複数回の積分の和と同じようなものとして捉えて、一貫性を持たせられるようにx^ae^xの積分として表現したものである。細かい説明は省略する。a!が出てきたので、これを求めたいガンマ関数と同値と捉え、方程式の完成を目指す。

$${\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=(a! e^{u^{1/a}}-\dfrac{\int_0^{-u^{1/a}} x^ae^xdx}{e^{-u^{1/a}}} +u)e^{-u^{1/a}}}$$

$${a!= a! -\dfrac{\int_0^{-u^{1/a}} x^ae^xdx }{a!}+ue^{-u^{1/a}}}$$

uからtに戻して、

$${\int_0^{-t} x^ae^xdx =t^ae^{-t}}$$

よって、

さて、計算してみたはいいけどほんとに合ってるのだろうか？どこか間違えてるポイントがあるとしか思えないのだが…

追加、さて、項が消えたなぁ。