ある数理カードマジック（初等整数論に興味ある人のために）

つい、こないだ、算数感覚がどうとか、ない人が多いだの、、とか書いたハナから、こんなネタを持ってきて、きっと算数が苦手な人は、もう読んでくれないかもしれないけど。。。

というか、算数感覚ネタというか、人は数字に簡単に驚かされるのだなぁ、と思うことが、こないだテレビを見ていてもあったわけです。

▶︎729層って聞くとそれだけでびっくりするわけ？

こないだ情報番組で高級パティスリーの紹介をしていて、いかにもお高そうで、でも美味しそうなパイを紹介してたのです。
で、その時に、パイのサクサク感を強調したかったのか、
ここのパイ生地は何度も折りたたんで、なんと729層にもなるんです！
って、さもすごそうに、多分、単に原稿を読んでいるその場にいるおねえちゃんは言ったわけです。

みなさんは「729層にもなる」って聞いただけで、まぁすごい！！って思いますかね。。。

だって、729って、3の6乗です。3つ折をを6回やればできちゃいます。
少しでもパイ生地を作ったことある、またはレシピをみたことある人は、バターを挟んだ生地を、3つ折にしては休ませまた伸ばして3つ折して、を丹念に繰り返すことでパイ生地を作ることは知ってるわけですよ（この丹念さと面倒さが手作りでパイを作るのを敬遠させ、お手軽に冷凍パイシートに頼る原因でもありますがw）。
3つ折を6回ってのは、普通のパイ生地のレシピですよ。（2回折って休ませるか、1回ごとに休ませるかで時間に大きく違いはでますが）
つまりは、そこらへんでお菓子作り
好きな奥さんだって729層のパイ生地
作ってたりするわけです。。。

問題は、綺麗に伸ばして折りたたんで、綺麗な層を作れるか、しっかり生地を休ませる時間をとれるか、いい材料を使ってるか、などであって、729層であることではないのよね、、、
まぁ、こういう風に人は簡単に数字に驚かされるのだなぁ、と思ったりもしたわけでした。

そういえば、コンピュータ関連の仕事をしている人は1024とか32768なんて数字を見るとすぐに2の累乗だなぁ、と気づくわけですが、そういう人って人口の何％くらいいるのでしょうね？
自分が周りにIT関連の人が多いだけに常識的に思いがちですが、きっと少ないのでしょうね、、、数％くらいなのかな。。。
で、その伝でいくと243や729をすぐに3の累乗って気づく人はもっと少ないのかしら、と妙なことも気になったり、、、w

▶︎で、カードマジックの話です

えらく話の入り口が関係ないところから入ったかというか、脱線しまくってしまいましたが、まぁ、連休でもあるので、手元で手軽にできるセルフワーキング型のカードマジックを題材にしてみたいと思います。
理屈はわからなくとも、手元にトランプがあるなら、簡単に試せるのでやってみてください。

数学（それも初等整数論あたり）に興味がある人は、このカードマジックの結果がどうしてそうなるのかを考えてみてください。理屈はそれほど難しくないのですが、ちゃんと証明するのはめんどくさいかも。

▶︎セルフワーキングカードマジックをやってみましょう！

＜準備するもの＞
赤いマーク（ハートでもダイヤでも）をAからQまで12枚。
黒いマーク（クラブでもスペードでも）をAからQまで12枚。
計24枚。

＜手順＞
1 赤いマークのカードと黒いマークのカードをそれぞれAからQまで順番にしたスタックをつくって裏向けにする（裏向けの1番上がAになるように）。

2 赤いマークの山から1枚ずつ左右に表向けにして配っていく。

3 11枚まで配ったら、12枚目は別のところに捨て（これが捨て山になる）、黒いマークの山から1枚表向けて12枚目の位置に置く。

4 右の山に左の山を重ねてから、裏返す。

5 2から4の手順を計12回繰り返す。

この操作をやってみるとわかりますが、捨て山には赤いマークのカードばかり捨てられていき、最後は捨て山が赤いマークのカードのスタック、手元には黒いマークのカードのスタックができあがります。

さて、問題はここからです。

赤いマーク、黒いマークそれぞれのスタックを並べてみると、次のような配列になっていることがわかります。

赤いマークの1枚目はQですが、黒のAは黒いマークの12枚目にあります。赤いマークの2枚目はJですが、黒の2は赤いマークの11枚目、という具合に、黒のNのカードは、赤のスタックのN枚目が記すMのマークから、黒のM枚目にあります。
一方、赤のNのカードは、黒のスタックのN枚目が記すMのマークから、赤のM枚目にあります。

上記の手順を繰り返すことで、どうしてこのような配列が生成されるのかを証明してみてください。

合同式を使った擬似乱数生成とかを知っている人には瞬殺かもしれませんが。。。 数学好きのお休みのちょっとした時間潰しくらいにはなるかもしれません。。。