4階微分の差分表現

はじめに

今回は差分法で用いる，4階微分の差分表現を導出します．kuramoto-sivashinsky方程式の離散化などで使います．導出に2階微分の差分表現を使います．こちらで解説しています．

差分を求める

$${u}$$を未知数，$${x}$$を空間座標とします．空間に適当な離散点を設けます．ここでは簡単のため，$${0 \leq x \leq L}$$の領域に等間隔で$${N}$$個の点を設けます．するとノードとノードの間隔は$${\Delta x = \frac{L}{N-1}}$$となります．次に，$${i}$$番目のノードの$${x}$$座標を$${x_i}$$，そのノードにおける未知数の値を$${u_i = u(x_i)}$$とします．次に，ステンシルというものを考えます．これは，差分の計算に用いるノードの集合のことです．通常複数の点から構成されます．今回は$${i}$$を中心として，$${i-2}$$，$${i-1}$$，$${i+1}$$，$${i+2}$$の5点を使います．求めたいのは

$$
\left( \frac{d^4 u}{dx^4} \right)_i
$$

です．ここで，$${\frac{d^2 u}{dx^2} = g}$$となる関数$${g}$$を考えます．すると$${\frac{d^4 u}{dx^4} = \frac{d^2 g}{dx^2}}$$となるので2階微分に対する中心差分を適用して

$$
\left( \frac{d^4 u}{dx^4} \right)_i = \left( \frac{d^2 g}{dx^2} \right)_i = \frac{g_{i+1} -2g_i + g_{i-1}}{(\Delta x)^2} = \frac{\left (\frac{d^2u}{dx^2} \right)_{i+1} -2\left (\frac{d^2u}{dx^2} \right)_{i} + \left (\frac{d^2u}{dx^2} \right)_{i-1}}{(\Delta x)^2}
$$

となります．ここで，2階微分はそれぞれ

$$
\left (\frac{d^2u}{dx^2} \right)_{i+1} = \frac{u_{i+2} -2u_{i+1} + u_i}{(\Delta x)^2}
$$

$$
\left (\frac{d^2u}{dx^2} \right)_{i} = \frac{u_{i+1} -2u_{i} + u_{i-1}}{(\Delta x)^2}
$$

$$
\left (\frac{d^2u}{dx^2} \right)_{i-1} = \frac{u_{i} -2u_{i-1} + u_{i-2}}{(\Delta x)^2}
$$

となるので代入すると

$$
\left( \frac{d^4 u}{dx^4} \right)_i = \frac{\frac{u_{i+2} -2u_{i+1} + u_i}{(\Delta x)^2} -2\frac{u_{i+1} -2u_{i} + u_{i-1}}{(\Delta x)^2} +  \frac{u_{i} -2u_{i-1} + u_{i-2}}{(\Delta x)^2} }{(\Delta x)^2}
$$

となります．これをさらに整理すると

$$
\left( \frac{d^4 u}{dx^4} \right)_i = \frac{u_{i+2} -4u_{i+1} +6u_i -4u_{i-1} + u_{i-2}}{(\Delta x)^4} + O(\Delta x^2)
$$

を得ます．これを4階微分の中心差分と呼びます．2次精度です．

おわりに

今回は差分法で用いる，4階微分の差分表現を導出しました．

参考文献

・登坂宣好，大西和榮『偏微分方程式の数値シミュレーション 第2版』
差分法だけでなく，有限要素法と境界要素法も解説されている．1次元の場合の楕円型方程式，放物型方程式，双曲型方程式をそれぞれ差分法，有限要素法，境界要素法による離散化を説明し，次に同様のことを2次元で行うという非常にシステマティックな構成です．第5章では粘性流れのシミュレーションも扱われており，定常移流拡散方程式，Burgers方程式，Navier-Stokes方程式の差分法，有限要素法，境界要素法による離散化が説明されています．非常に素晴らしい名著なのですが，現在中古が高騰しています．安価で手に入るのは内容が少ない1版なのでご注意ください．表紙が違います．

偏微分方程式の数値シミュレーション 第2版

・梶島岳夫『乱流の数値シミュレーション 改訂版』
差分法でNavier-Stokes方程式を以下に離散化すべきであるかを非常に丁寧に解説しています．差分の基礎からはじめて乱流の数値計算まで到達するすごい本です．おすすめです．

乱流の数値シミュレーション 改訂版（第2版）