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分数式の計算
高校数学の解説のページです.
趣味と頭の体操も兼ねています.
今回は分数式の計算についてお話します.
➀分数式の約分
分数でもそうでしたが,分数式も約分することにより,簡単にすることができます.
約分とは,分母と分子に共通の因数があるとき,$${\frac{x}{x}=1}$$として,簡単にすることです.
例
$${\displaystyle\frac{x^2-x-6}{x^2-2x-3}, (x \neq -1, 3)}$$
$${=\displaystyle\frac{(x+2)(x-3)}{(x+1)(x-3)}}$$
$${=\displaystyle\frac{x+2}{x+1}}$$
上記では,$${0}$$で割ることは定義されていないということで,$${x \neq -1, 3}$$と但し書きを設けましたが,問題文でこれをすると,ヒントを与えることになりますよね…。
実際の問題では省略しているかもしれず,その場合は暗黙の裡に$${0}$$で割ることは定義されていないと了解するべきと思います。
例
$${\displaystyle \frac{ax-b+x-ab}{ax^2-abx}}$$
$${=\displaystyle \frac{a(x-b)+(x-b)}{ax(x-b)}}$$
$${=\displaystyle \frac{(a+1)(x-b)}{ax(x-b)}}$$
$${=\displaystyle \frac{a+1}{ax}}$$
➁分数式のかけ算
分数式のかけ算では,そのまま分子同士,分母同士でかけ算をすればよいです.
例
$${ \displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2+4x+3} \times \frac{x^2+3x+2}{x^2+5x+6} }$$
$${ =\displaystyle \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+3)} \times \frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)} }$$
$${ =\displaystyle \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+3)} \times \frac{x+1}{x+3} }$$
$${ =\displaystyle \frac{x(x+2)}{(x+3)^2} }$$
➂分数式の割り算
分数式の割り算では,割る数のほうの分子分母を入れ替えることで,かけ算にすることができます.
例えば,$${ \frac{x}{y} \div \frac{z}{w} = \frac{x}{y} \times \frac{w}{z} }$$
例
$${ \displaystyle \frac{x^2-x-2}{x^2-4} \div \frac{x^2+x}{x^2+2x} }$$
$${ =\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} \div \frac{x(x+1)}{x(x+2)} }$$
$${ =\displaystyle \frac{x+1}{x+2} \div \frac{x+1}{x+2} }$$
$${ =\displaystyle \frac{x+1}{x+2} \times \frac{x+2}{x+1} }$$
$${ =1 }$$
④分数式の足し算・引き算
分数式の足し算・引き算は,分母をそろえる「通分」を行った後で行います.
通分を行う前に各項をできるだけ簡単にしておくことで,余計な計算を省くことができます.
例
$${ \displaystyle \frac{x-2}{x^2-4} + \frac{x^2}{x-2} - \frac{x^3+x-4}{x^2-4} }$$
$${ = \displaystyle \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} + \frac{x^2}{x-2} - \frac{x^3+x-4}{(x+2)(x-2)} }$$
$${ = \displaystyle \frac{x-2+x^2(x+2)-(x^3+x-4)}{(x+2)(x-2)} }$$
$${ = \displaystyle \frac{x-2+x^3+2x^2-x^3-x+4}{(x+2)(x-2)} }$$
$${ = \displaystyle \frac{2x^2+2}{(x+2)(x-2)} }$$
$${ = \displaystyle \frac{2(x^2+1)}{(x+2)(x-2)} }$$
$${ \displaystyle \frac{2}{x^2-x} + \frac{x^2+x+1}{x^3-1} - \frac{x}{x^2-1} }$$
$${ = \displaystyle \frac{2}{x(x-1)} + \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{x}{(x+1)(x-1)} }$$
$${ = \displaystyle \frac{2}{x(x-1)} + \frac{1}{x-1} - \frac{x}{(x+1)(x-1)} }$$
$${ = \displaystyle \frac{2x+2}{x(x-1)(x+1)} + \frac{x^2+x}{x(x-1)(x+1)} -\frac{x^2}{x(x-1)(x+1)} }$$
$${ = \displaystyle \frac{2x+2+x^2+x-x^2}{x(x-1)(x+1)} }$$
$${ = \displaystyle \frac{3x+2}{x(x-1)(x+1)} }$$
⑤終わりに
以上,分数式の計算の基本を見てきましたが,けっこう複雑で計算量も多くなりますね….
入試の小問集合でも出題しやすいところだと思いますので,しっかり基本を押さえておきましょう.
⑥参考書紹介
私が愛読している数学の参考書をご紹介します.
長岡亮介先生の参考書です.
例題を解き進めていく中で,長岡先生が注意点や危うい箇所を説き明かしておられます.
数学で利用される論理についてのお話です.
論理的に考えることに興味のある方にお勧めします.
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