暗算で解く京大理系数学2021

ふと「今年の京大理系数学、何のメモもしないで暗算で解けそうだなぁ」と思って、16:10-16:40の間に暗算チャレンジをしていました。大まかな思考の跡を書き留めておきます。誰かに見せる用ではありません

※  [ 1 ](割愛)  確率は最初に図を書く派なので暗算では解きませんでした

[ 2 ] 

接点のx座標を t とおいて......

 接線の方程式は (y-f(t))/t = x-t で......

だからx軸上のこの線分の正射影の長さは f(t)/t で......

Lはこの√(t^2+1)倍で......

t^2+1=u としたら L=(1/2)*√(u^3/(u-1))とできそうで......

グラフ思い浮かべたら (u-1)/u^3 は u=3/2 で最大で......

L >= (1/2)*√((3/2)^3/(1/2)) >= 3√3/4

[ 3 ]

n=0〜∞の無限和 Σ((√3+i)/4)^n の実部だから......

1/(1-(√3+i)/4) = 4/(4-√3+i) = (4-√3-i)/(5-2√3) の実部だから......

(4-√3)/(5-2√3) = (14+3√3)/13

[ 4 ]

√(1+f'^2)=√(1+tan(x/2)^2)=1/cos(x/2) で......

部分分数分解して......

原始関数のひとつが ln|1+sin(x/2)|-ln|1-sin(x/2)| だから......

ln(1+1/√2)-ln(1-1/√2)= 2ln(1+√2)

[ 5 ]

Aの軌跡は円の上半分で、原点Oについて ∠BOC=120° だから、外心はO(0,0)

A(s, t) とすると重心は G(s/3, (t-2)/3) で、外心が常に原点にあるので垂心は H(s, t-2) にあるから x^2+(y+2)^2=4, y>-2

[ 6 ]問1

対偶とって因数分解すれば自明

[ 6 ]問2

f(x)/x に平均値の定理使うだけ。この問題、前に作ったことがある