パズル

今日見かけたパズルを紹介します。

問題

A～Jの10人の海賊がいる
この海賊は100枚の金貨を奪ってきた
この海賊には掟があってまず頭領が全員分の配分を決める
そのあとみんなで(頭領も含む)多数決をして半分以上が賛成なら可決される
しかし否決されるとその頭領は処刑されて次のBが新しい頭領になり同じ手順を繰り返す(頭領になる順番はAから始まり、Bへ移り順にJまで行く)
そこで頭領Aは自分が処刑されずに一番多くの金貨を得たい
どう配分すればいいだろうか
なお海賊たちはみんな利己的で合理的に行動するものとする。

最初から１０人で考えるのは難しいので、少ない人数で考えていく。

①２人の場合　I　J

2人だから必ずIは総取りできる。I:J=１００:０

②3人の場合　H　I　J

Hは自分の提案の為必ず賛成する。IはHの提案が反対されれば、①の場合になり総取りできるため必ず反対する。故にJを納得できる提案をすればよい。JはHの提案が否決されれば、①の場合になり金貨は0枚になってしまうため、1枚貰えれば満足である。よって、Hは　H:I:J＝99:0:1 を提案すれば　HとJ二人の賛成で可決できる。

③4人の場合　G　H　I　J

4人であるから、2人以上の賛成を得られれば良い。Jは否決され続けてIJの2人になる①になることを避ける為、1枚以上を貰えれればOK。

G：H：I：J＝９９：０：０：１

④5人の場合　F　G　H　I　J

ここまでで提案する人が一番得することが分かるので、次に提案する人（ここではG）は必ず反対する。Jは1枚以上貰えれれば賛成してくれることが分かる。

この場合では、HかIの賛成を得る提案法を考える。もしFの提案が否決されれば、③のケースになる。HとIは0枚になるので、1枚以上貰えれればOK。

よって、F：G：H：I：J＝９８：０：１：０：１　

９８：０：０：１：０でも可能かもしれませんが、下から2番目のIは最終的にJとの2人になることを最も望むため、前者の回答の方が望ましい？

⑤6人の場合　E　F　G　H　I　J

提案者Eと下っ端Jは同様に賛成を得ることを前提として、GHIのうち一人から賛成を得ることを考える。Gはここで否決されると、④の場合になり取り分が0枚になるため1枚貰えれれば賛成する。

E：F：G：H：I：J＝９８：０：１：０：０：１

⑥7人の場合　D　E　F　G　H　I　J

4人の賛成を得たい。D　Jは同様に賛成を得るため、F~Jのうち2人の賛成を得ることを考える。ここで否決されると⑤の場合になりFとHは0枚になる。1枚与えれば賛成する。

D：E：F：G：H：I：J＝９８：０：１：０：１：０：１

（以下同様に考えるため省略）

法則性が見えてきました。最終的な回答としては

A：B：C：D：E：F：G：H：I　＝９６：０：１：０：１：０：１：０：１

になります。

少ない人数で考えていくと、それぞれの立場が見えてきます。

一番下っ端は最終的に2人のタイマンになったら勝ち目がないため、1枚以上貰えればOK。逆に下から2番目はタイマンになることを望むため反対しやすい。上からNo2は頭領になることが一番得になることを知っているため必ず反対する。頭領視点で考えると、No2は必ず反対するため塩対応してOK、他の人から賛成を得ることを考えたい。

5人の場合のように別解はあるかもしれませんが、方針はこれでいいと思われます。