連続一様分布に従う連続型確率変数と正規分布に従う連続型確率変数の期待値と分散、モーメント母関数

上限と下限をもつ連続一様分布

一様分布の確率変数$${x:x\in[a,b]}$$の確率密度関数は
$${f(x)=\displaystyle{\begin{cases}\frac{1}{b-a} & (a \leq x \leq b)\\0 & (x\leq a , x\geq b)\end{cases}}}$$
で与えられ、期待値と分散は以下のようになる。
$${E[x]=\displaystyle{\int^b_ax\frac{1}{b-a}dx = \frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}}}$$

$${V[x]=\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int^b_ax^2dx-\frac{(b+a)^2}{4}=\frac{b^2+ab+a^2}{3}-\frac{(b+a)^2}{4}=\frac{(b-a)^2}{12}}}$$

正規分布

平均$${\mu: -\infty \leq \mu \leq \infty}$$、分散$${\sigma^2: \sigma>0}$$を持つ正規分布の確率密度関数は、
$${\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)}}$$で与えられる。
正規分布はガウス分布とも呼ばれるが、それは、ガウス積分
$${I(a)=\displaystyle{\int^\infty_{-\infty} e^{-ax^2}dx}}$$として、
$${I^2(a)=\displaystyle{\int\int^\infty_{-\infty} e^{-a(x^2+y^2)}dxdy=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}d\theta\int^{\infty}_0dr re^{-ar^2} = 2\pi\Big[-\frac{e^{-ar^2}}{2a}\Big]^\infty_0=\frac{\pi}{a}}}$$、ここで、$${x^2+y^2=r^2, dxdy=rdrd\theta}$$を使っている。
よって、$${\displaystyle{I(a)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}}}$$
これを用い、
$${\displaystyle{\int^\infty_{-\infty}f(x)dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)dx=I(\frac{1}{2\sigma^2})}}$$
$${\displaystyle{=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}\sigma=1}}$$
と証明される。
正規分布のモーメント母関数は
$${M_x(t)=\displaystyle{\int^\infty_{-\infty}e^{tx}f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+tx\Big)dx}}$$
$${\displaystyle{=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2}\int^\infty_{-\infty}\exp\Big(-\frac{(x-(\mu+\sigma^2t))^2}{2\sigma^2}\Big)dx=\exp(\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2)}}$$
で与えられ、これから期待値と分散は以下のように求められる。
$${E[x]=\displaystyle{\frac{d\exp(\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2)}{dt}\Big|_{t=0}=(\mu+\sigma^2t)\exp(\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2)|_{t=0}=\mu}}$$

$${V[x]=\displaystyle{\frac{d^2\exp(\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2)}{dt^2}\Big|_{t=0}-\mu^2}}$$
$${\displaystyle{=\Big(\sigma^2\exp(\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t^2)+(\mu+\sigma^2t)^2exp(\mu t + \frac{\sigma^2}{2}t)^2\Big)\Big|_{t=0}-\mu^2 =\sigma^2}}$$

正規分布$${\cal{N}(\mu,\sigma^2)}$$に従う確率変数$${x}$$の関数である$${r=ax+b}$$は、
$${E[r]=a\mu+b}$$
$${V[r]=a^2V[x]=a^2\sigma^2}$$
より、正規分布$${\cal{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2)}$$に従う。
$${r}$$の密度関数は$${x=\frac{r-b}{a}}$$より、
$${g(r)=\displaystyle{f(r)\Big|\frac{dx}{dr}\Big|=f(\frac{r-b}{a})\Big|\frac{1}{a}\Big|}}$$
となる。

$${\cal{N}(0,1)}$$を標準正規分布と呼ぶ。