確率変数の期待値の不等式：ミンコフスキーの不等式、カントロビッチの不等式

ミンコフスキーの不等式

二つの確率変数$${x,y}$$において、任意の実数$${p, p>1}$$とともに、
$${\displaystyle{E[|x+y|^p]^{\frac{1}{p}} \leq E[x^p]^{\frac{1}{p}} + E[y^p]^{\frac{1}{p}} }}$$
が成り立ち、これをミンコフスキーの不等式と呼ぶ。

証明

$${|x+y| \leq |x|+|y|}$$で、両辺に$${|x+y|^{p-1}}$$をかければ、
$${|x+y|^p \leq |x||x+y|^{p-1}+|y||x+y|^{p-1}}$$。この期待値を取り、
$${E[|x+y|^p] \leq E[|x||x+y|^{p-1}]+E[|y||x+y|^{p-1}]}$$となる。
この右辺のそれぞれにヘルダーの不等式（$${q=(1-\frac{1}{p})^{-1}}$$）
$${\displaystyle{E{|xy|} \leq E[|x|^p]^{\frac{1}{p}}E[|y|^{1-p}]^{\frac{p}{p-1}}}}$$を使えば、
$${E[|x||x+y|^{p-1}]\leq E[|x|^p]^{\frac{1}{p}}E[|x+y|^{p}]^{1-\frac{1}{p}}}$$
$${E[|y||x+y|^{p-1}]\leq E[|y|^p]^{\frac{1}{p}}E[|x+y|^{p}]^{1-\frac{1}{p}}}$$
よって、
$${ \displaystyle{ E[|x+y|^p] \leq E[|x||x+y|^{p-1}]+E[|y||x+y|^{p-1}] }}$$
$${\displaystyle{\leq(E[|x|^p]^{\frac{1}{p}} + E[|y|^p]^{\frac{1}{p}}) E[|x+y|^{p}]^{1-\frac{1}{p}}}}$$
右辺の$${E[|x+y|^{p}]^{1-\frac{1}{p}}}$$を左辺に持っていけば、
ミンコフスキーの不等式
$${\displaystyle{E[|x+y|^p]^{\frac{1}{p}} \leq E[x^p]^{\frac{1}{p}} + E[y^p]^{\frac{1}{p}} }}$$
が得られる。

カントロビッチの不等式

確率変数$${x}$$が$${0< a \leq x < b}$$を取る時、
$${\displaystyle{E[x]E[\frac{1}{x}] \leq \frac{(a+b)^2}{4ab}}}$$
が成り立つ。これをカントロビッチの不等式と呼ぶ。

証明

$${0< a \leq x < b}$$から、$${0 \geq (x-b)(x-a)= (x-a-b)x+ab}$$
よって、$${\displaystyle{\frac{ab}{x}\leq a+b-x}}$$
これから、$${\displaystyle{\frac{1}{x}\leq \frac{a+b-x}{ab}}}$$
両辺の期待値を取り、
$${\displaystyle{E[\frac{1}{x}]\leq \frac{a+b}{ab}-\frac{E[x]}{ab}}}$$
これに両辺に$${E[x]}$$をかければ、
$${\displaystyle{E[x]E[\frac{1}{x}]\leq \frac{(a+b)E[x]}{ab}-\frac{E[x]^2}{ab}=-\frac{1}{ab}(E[x]-\frac{a+b}{2})^2 + \frac{(a+b)^2}{4ab} }}$$
$${\displaystyle{\leq \frac{(a+b)^2}{4ab}}}$$
よって、$${\displaystyle{E[x]E[\frac{1}{x}] \leq \frac{(a+b)^2}{4ab}}}$$が証明された。