オルヌシュタイン・ウーレンベック過程

一般的に、OU過程は、ウィーナー過程$${W_t}$$を入れて、
$${dX_t=\kappa(\theta - X_t)dt + \sigma dW_t}$$
と、記述される。
　ここで、
$${\kappa > 0}$$は平均回帰係数で、$${\theta \in {\bf R}}$$は長期平均値、$${\sigma}$$はボラティリティである。
　$${Y_t=X_t-\theta}$$と置き換えれば、
$${dY_y=-\kappa Y_tdt + \sigma dW_t}$$となる。
　この方程式は伊藤の公式を使って解くことができる。
　伊藤の公式とは、ある確立過程$${\{X_t\}}$$が、ブラウン運動$${B_t}$$とともに、
$${dX_t=f(t)dt + g(t)dB_t}$$
に従うとき、関数$${h(x,t)}$$が2回連続微分可能であれば、
$${d(h(X_t,t))= \displaystyle{ \frac{\partial h}{\partial t} \mid_{x=X_t}dt +\frac{\partial h}{\partial x}\mid_{x=X_t}f(t)dt +\frac{\partial h}{\partial x}\mid_{x=X_t}g(t)dB_t }}$$
$${\displaystyle{+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}\mid_{x=X_t}g(t)^2dt}}$$
が成立する。
　$${h(y,t)=y e^{\kappa t}}$$とおけば、$${\displaystyle{\frac{\partial h}{\partial t}\mid_{y=Y_t}= \kappa Y_t e^{\kappa t}, \ \frac{\partial h}{\partial y}\mid_{y=Y_t}=e^{\kappa t} , \ \frac{\partial^2 h}{\partial^2 y}=0 }}$$より、
$${\displaystyle{d(Y_t e^{\kappa t}) = \kappa Y_t e^{\kappa t} dt + e^{\kappa t}(-\kappa Y_t) dt + \sigma e^{\kappa t} dW_t }}$$
$${\displaystyle{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = e^{\kappa t}(\kappa Y_t dt - \kappa Y_t dt + \sigma dW_t)= e^{\kappa t}\sigma dW_t}}$$
よって、これを$${(0,t)}$$で積分すれば、
$${\displaystyle{Y_t e^{\kappa t}-Y_0= \int^{t}_{0} \sigma e^{\kappa s}dW_s}}$$。
$${Y_t}$$を$${X_t}$$に戻せば、
$${X_t = \theta + (X_0 - \theta)e^{-\kappa t} +\int^{t}_{0} \sigma e^{\kappa(s-t)}dW_s }$$
　これから、$${\{X_t\}}$$の平均値は、$${ \theta + (X_0 - \theta)e^{-\kappa t} }$$、分散は、$${\int^{t}_{0}\sigma e^{\kappa (u-t)}dW_u}$$
$${cov[X_t, X_t]= \displaystyle{cov[\int^{t}_{0}\sigma e^{\kappa (u-t)}dW_u,\int^{t}_{0}\sigma e^{\kappa (v-t)}dW_v] }}$$
$${ \displaystyle{= E[\int^{t}_{0}\sigma e^\kappa(u-t)dW_u\int^{t}_{0}\sigma e^\kappa(v-t)dW_v]=\sigma^2 e^{-2\kappa t} E[(\int^{t}_{0} e^{\kappa u}dW_u)^2] }}$$
$${\displaystyle{=\sigma^2 e^{-2\kappa t} \int^{t}_{0}e^{2\kappa u} du = \sigma^2 e^{-2\kappa t} \frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa t} -1 ) = \frac{\sigma^2}{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t}) }}$$
　この平均値と分散を用いて、方程式を離散化すれば、$${\epsilon_t}$$を正規分布乱数として、
$${X_{t+1}=\theta+(X_t - \theta)e^{-\kappa \Delta t} + \sqrt{\frac{\sigma^2}{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t})}\epsilon_t}$$
と、記述される。