最小分散ポートフォリオ：解析解と効率的フロンティア

$${N}$$資産の最小分散ポートフォリオを、資産の期待リターンの共分散行列を$${{\bf S}}$$、平均値を$${ {\bf \mu}_p}$$として、 $${{\bf w}^{T}{\bf S}{\bf w}}$$の最小問題を以下の条件下で、ラグランジアン使って解析的に解く。

• $${k={\bf w}^{T}{\bf R}}$$　$${k}$$はターゲット利益。

• $${{\bf w}^{T} {\bf 1}_N = 1}$$

$${{\bf L}=\displaystyle{ \frac{1}{2} {\bf w}^{T}{\bf S}{\bf w}+\lambda_1({\bf w}^T{\bf \mu} - {\bf \mu}_p) + \lambda_2({\bf w}^T{\bf 1}_N - 1) }}$$

　これより、最小化の一階条件は、
$${ \displaystyle{ \frac{\partial {\bf L}}{\partial {\bf w}} = {\bf S}{\bf w} +\lambda_1 {\bf \mu} + \lambda_2 {\bf 1}_N = {\bf 0} }}$$

$${ \displaystyle{ \frac{\partial {\bf L}}{\partial \lambda_1} = {\bf w}^T {\bf \mu} - {\bf \mu}_p =0 }}$$

$${ \displaystyle{ \frac{\partial {\bf L}}{\partial \lambda_2} = {\bf w}^T {\bf 1}_N - 1 =0 }}$$
となり、これを行列形式で表せば、
$${\displaystyle { \begin{pmatrix} {\bf S} & {\bf \mu} & {\bf 1}_N \\ {\bf \mu}^T & 0 & 0 \\ {\bf 1}^{T}_{N} & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\bf w}\\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\bf 0}\\ {\bf \mu}_p \\ 1 \end{pmatrix}}}$$
となる。

よって、左から逆行列をかければ、
$${\displaystyle { \begin{pmatrix} {\bf w}\\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\bf S} & {\bf \mu} & {\bf 1}_N \\ {\bf \mu}^T & 0 & 0 \\ {\bf 1}^{T}_{N} & 0 & 0 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} {\bf 0}\\ {\bf \mu}_p \\ 1 \end{pmatrix}}}$$

この逆行列は、分解行列の逆行列として求められる。
$${ \left( \begin{array}{c:cc} {\bf S} & {\bf \mu} & {\bf 1}_N \\ \hdashline {\bf \mu}^T & 0 & 0 \\ {\bf 1}_N^{T} & 0 & 0 \end{array} \right)^{-1}= \begin{pmatrix} {\bf A}_{11} & {\bf A}_{12} \\ {\bf A}_{21} & {\bf A}_{22} \end{pmatrix}^{-1} \\ = {\displaystyle \begin{pmatrix} {\bf A}_{11}^{-1} + {\bf A}_{11}^{-1}{\bf A}_{12}{\bf F}_2{\bf A}_{12}^{T}{\bf A}_{11}^{-1} & -{\bf A}_{11}^{-1}{\bf A}_{12}{\bf F}_2 \\ -{\bf F}_2{\bf A}_{12}^{T}{\bf A}_{11}^{-1} & {\bf F}_2 \end{pmatrix} } }$$

$${{\bf F}_2=({\bf A}_{22}-{\bf A}_{12}^{T}{\bf A}_{11}^{-1}{\bf A}_{12})^{-1}=\displaystyle{ \left( \begin{bmatrix} {\bf \mu}^T \\ {\bf 1}_{N}^{T} \end{bmatrix}{\bf S}^{-1}\begin{bmatrix} {\bf \mu}& {\bf 1}_N \end{bmatrix} \right)^{-1} \\ = - \begin{pmatrix} {\bf \mu}^T{\bf S}^{-1}{\bf \mu} & {\bf \mu}^T{\bf S}^{-1}{\bf 1}_N \\ {\bf 1}^T_N{\bf S}^{-1}{\bf \mu} & {\bf 1}_{N}^T{\bf S}^{-1}{\bf 1}_{N} \end{pmatrix}^{-1}}}$$
この各成分を、
$${ A= {\bf \mu}^T{\bf S}^{-1}{\bf 1}_N}$$、$${B={\bf \mu}^T{\bf S}^{-1}{\bf \mu}}$$、 $${C= {\bf 1}^T_N{\bf S}^{-1}{\bf 1}_N }$$、また行列式$${D=BC-A^2}$$とおけば、
$${ {\bf F}_2=-\displaystyle{ \begin{pmatrix} B & A \\ A & C \end{pmatrix}^{-1}= -\frac{1}{D} \begin{pmatrix}C & -A \\- A & B \end{pmatrix} }}$$

よって、最小分散ポートフォリオの重みは、
$${{\bf w}_p=-{\bf A}_{11}^{-1}{\bf A}_{12}{\bf F}_2\begin{pmatrix} \mu_p \\ 1\end{pmatrix} =-\displaystyle{ {\bf S}^{-1}\begin{pmatrix} {\bf \mu} & {\bf 1}_N \end{pmatrix}\frac{1}{D}\begin{pmatrix}C & -A \\- A & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mu_p \\ 1\end{pmatrix} = \\ \frac{C\mu_p-A}{D}{\bf S}^{-1}{\bf \mu}+\frac{-A\mu_p+B}{D}{\bf S}^{-1}{\bf 1}_N} }$$と与えられる。
　最小分散は、$${{\bf w}_{p}^{T}{\bf S}{\bf w}_p}$$となるから、
$${　\displaystyle{ \sigma_{p}^2=\frac{C}{D}(\mu_p-\frac{A}{C})^2 + \frac{1}{C} }}$$
である。
　効率フロンティアは$${\mu_p \gt \frac{A}{C}}$$で与えられる曲線となる。