ポアソン分布に従う確率変数の期待値と分散、モーメント母関数

成功確率がどんなに小さくても、試行を無限に繰り返せば、成功事例は起こり得る。これを証明するのがポアソンの少数の法則である。
二項分布で、成功する確率を$${p}$$とすれば、失敗する確率は$${1-p}$$であり、$${n}$$回中$${x}$$回成功する組み合わせは、$${{}_nC_x}$$で与えられるから、この確率密度関数は$${f(x)={}_nC_xp^x(1-p)^{n-x}}$$となる。
$${\displaystyle{p=\frac{\lambda}{n}}}$$と置き、無限大の$${n}$$で極限を取ると、
$${\lim_{n\to\infty}{}_nC_xp^x(1-p)^{n-x}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}{}_nC_x(\frac{\lambda}{n})^x(1-\frac{\lambda}{n})^{n-x}}}$$

$${=\displaystyle{\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}(1-\frac{\lambda}{n})^n (1-\frac{\lambda}{n})^{-x}}}$$

ここで、
$${\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-x+1}{n}\frac{(n-x)!}{(n-x)!}=1 }}$$
$${\displaystyle{\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e}}$$
$${t=\displaystyle{-\frac{\lambda}{n}, lim_{n\to\infty}t=0}}$$
を使えば、
$${\lim_{n\to\infty}{}_nC_xp^x(1-p)^{n-x}==\displaystyle{\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}(1-\frac{\lambda}{n})^n (1-\frac{\lambda}{n})^{-x}}}$$
$${=\displaystyle{\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{t\to 0}(1+t}^{-\frac{\lambda}{t}(1+t)^{-x}=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}}}$$
が得られる。
これを確率密度関数にしたものをポアソン分布に従う確率変数と呼ぶ。
$${f(x)=\displaystyle{\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}}}$$
$${\displaystyle{p=\frac{\lambda}{n}}}$$より、$${n}$$を試行時間とすれば、単位時間内に平均で$${\lambda}$$回起こる現象が、$${x}$$回起こる確率と解釈できる。
明らかに、$${f(x)>0}$$であり、テイラー展開から、
$${e^\lambda=\displaystyle{1+\frac{\lambda}{1!}+\frac{\lambda^2}{2!}+\cdots}}$$より、$${\displaystyle{\sum_{x=0}^\infty f(x)=\sum_{x=0}^\infty \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\sum\frac{\lambda^x}{x!} =e^{-\lambda}e^\lambda=1}}$$
モーメント母関数は、
$${M_x(t)=\displaystyle{\sum_{x=0}^\infty e^{tx}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}}}$$で与えられる。
$${g(\lambda)=e^{\lambda e^{t}}}$$とおけば、$${g^{(n)}(\lambda)=e^{nt}e^{\lambda e^{e^t}}}$$より、
$${g(\lambda)=1+\displaystyle{\frac{e^t}{1!}\lambda + \frac{e^{2t}}{2!}\lambda^2+\cdots}}$$
これを用いて、
$${M_x(t)=\displaystyle{e^{-\lambda}(1+\frac{e^t}{1!}\lambda + \frac{e^{2t}}{2!}\lambda^2+\cdots)=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}=e^{\lambda(e^t-1)}}}$$となる。
期待値と分散は、これを微分して、
$${\displaystyle{\frac{dM_x(t)}{dt}=\lambda e^t e^{\lambda(e^t-1)}}}$$
$${\displaystyle{\frac{d^2M_x(t)}{dt^2}=\lambda e^t e^{\lambda(e^t-1)} + \lambda^2 e^{2t} e^{\lambda(e^t-1)} }}$$
より、
$${E[x]=\mu_1=\displaystyle{\frac{dM_x(t)}{dt}\Big|_{t=0}=\lambda}}$$
$${V[x]=\mu_2-\mu_1^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda}$$
が得られる。