残差を求めるための公式　方法1と方法2

 {Res}(f, a) = lim_{z → a} (z - a) f(z) この方法は、特異点 (a) での極が一次のとき（単純極）に適用します。具体的な例で見てみましょう。

例1: f(z) = {e^z}/{z-1} ) の残差を ( z = 1 ) で求める。f(z) = {e^z}/{z-1} )残差を求める公式に従って、 ( z = 1 ) での残差を計算します。{Res}(f, 1) = lim_{z → 1} (z - 1) {e^z}/{z-1} ]計算します。[ \{Res}(f, 1) = lim_{z → 1} e^z = e ]したがって、残差は ( e ) です。

 {Res}(f, a) = {1}/{(k-1)!} lim_{z → a} {d^{k-1}}/{dz^{k-1}} ( (z - a)^k f(z) ) )この方法は、特異点 (a) での極が高次（ (k) 次の極）であるときに適用します。

例2: ( f(z) = {1}/{(z-2)^3} ) の残差を ( z = 2 ) で求める。( f(z) = {1}/{(z-2)^3} )残差を求める公式に従って、 ( k = 3 ) の場合の残差を計算します。

ここで ((z - 2)^3 {1}/{(z-2)^3} = 1) であり、その二階微分は 0 です。

したがって、残差は 0 です。