2重根号の外し方

今年の目標、「数学の学びなおし」として、高校数学の復習を少しづつ進めています。現在は、数Ⅰ＋Aを青チャートで少しづつ進めています。

昨日できなかった問題は、次の問題でした(EX 28)。

$${\sqrt{9+4\sqrt{5}}}$$の小数部分をaとするとき、次の式の値を求めよ。
$${(1)  a^2-1/a^2}$$
$${(2)  a^3}$$
$${(3)  a^4-2a^2+1}$$

がりがりやってできるかなと思いましたが詰まってしまい、例題に戻りました。例題25の２重根号の簡約化で次のテクニックを学びました。

$${\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

このテクニックを使えば、

$${\sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{9+2\sqrt{20}}\\=\sqrt{4}+\sqrt{5}\\}$$

と簡約化できます。
$${\sqrt{4}+\sqrt{5}}$$の小数部分は、$${\sqrt{5}-2}$$ですので、あとは比較的簡単です。

例えば(1)では、$${a^2-1/a=(a+1/a)(a-1/a)}$$ですから、計算を間違えずに進めれば$${-8\sqrt{5}}$$と答えが求まります。

こんな調子で１日１単元ぐらいを進めています。
今日の記事はnoteで数式を書く練習を兼ねて投稿しました。