OMCB007 参加記

こんばんは。
本記事では2024/4/24に開催されたOMCB007の感想などを書いていきます。
ちょっとだけ忙しかったですが、何とか時間を確保して参加。expertまでに勘を鈍らせたくないという気持ちです。
今回は6問のようです。何か基準があるのでしょうか。b,r,b,r,b,e というサイクルでの開催じゃなくなったようで、今後の運用も気になります。
問題ページは以下です。

OnlineMathContest | For All Solvers

参加時の動き

配点は1-2-2-3-3-4
今回はチーム戦にも参加していないので、後ろから解こうかなと思ったものの、途中ですっかり忘れてFを解いた後Aから順に解いていた

F

OMCB007 F問題

点数から見ても面倒そうな問題と一瞬思ったが、普通にヘロンの公式っぽい。実際そう思って式をとらえると、30=(a+b+c)/4で、右辺が面積の2倍の2乗とわかる。左辺の情報から面積=ab/2なので、直角三角形の辺の長さになっている。あとは、c^2=a^2+b^2とa+b+c=120から絞る。ピタゴラス数であって、周長が120の約数になるものを列挙できると速い。少し剰余などを考えてもたついたが、最初の発想は悪くないスピードだったと思う。

A

OMCB007 A問題

ボールの番号の和は∑k^2で、2870
ボールの個数はご丁寧に与えられている。約分注意。
取り出すボールが一個なので安心した。

B

OMCB007 B問題

3C2+4C2+・・・+11C2 =12C3-2C2
ところでホッケースティック恒等式っていつ誰が言い出したんだろう。
 

C

OMCB007 C問題

約数の積がN^(d(N)/2)というの、出すぎ（問題が古いので仕方ないか）

D

OMCB007 D問題

それぞれx,y,zとおいて、x^ky^lz^ma^2b^2c^2となるような正整数k,l,mを求めて、相加相乗で
1=x/k*k+y/l*l+z/m*m>=(k+l+m)((x/k)^k(y/l)^l(z/m)^m)^(1/(k+l+m))
とする。ちょうどいい難易度。

E

OMCB007 E問題

いい感じの円になるのかなと幾何的性質を考えてみるがよくわからない。
1つの条件のみに着目して図を書くと、放物線になる。（焦点がO）
後はうまく分けて面積を求める。（積分してもいい）
OA,OB,OCで区切ると
・底辺 2/sqrt(3),高さ1/3の二等辺三角形
・よこ2/sqrt(3)　たて1/6の長方形に収まる放物線の上の部分
　（→長方形の2/3倍の面積）
となるので、これを足して3倍する。
3倍を忘れたり三角形の面積を2で割り忘れたりして2ペナ。6問なので一個一個が重いのを忘れてスピードだけ狙いに行ってしまった。

感想と反省

6問正解26分29秒2ペナで7位でした！E以外はかなりいいペースで解けていたので、Eの計算泥沼が非常に悔やまれます。
セット全体としては、易し目な中で、後半3問は典型＋1ステップという形で、よかったかなと思います。
個別の問題ではD,Fが面白く感じました。Dは最近不等式がちょこちょこ出る影響もあってか、想定解で解けました。Fは結構難しそうですけど、時間があればヘロンの公式関係に気づかなくてもごり押せる内容ではありますね。結構瞬殺している人が多くて、個人的にはびっくりしました。こういう問題は初手で数論的な考察をすると思うので…
Eは二次曲線の積分とも言えるということがあって、本当に範囲内なのか、という話が挙がっていました。焦点などの構造を見ずに立式すれば放物線になるのであまり気にしていませんでしたが、確かにテーマ的には範囲外かもしれません。
こういうのはOMC特有の要素と捉えているので、別に出る分には構わないですが、そもそも面白い問題を作りにくいなと思いますね。（そういう観点ではEはこのテーマの中では面白い方なのではないかと思う）　
ともかく、数学オリンピックでは確実に見かけない一問でした。

雑多なトピックス

今回は「問題の難易度判定」に関してちょっとだけメモを残したいと思います。
問題がどれくらい難しいか、という話は主観を多く含む個人差の大きい話題であり、絶対的な評価ができないものです。その割に、よく一次元での評価がされているイメージです。
とはいえ、何らかの分類を行うことは確実に有用ではあって、たとえ主観で判定されたものであったとしても、練習やチェックの際に役立つとは思います。
前回の雑多なトピックスでも示した通り、点数とdifficultyすら頻繁に逆転するため、統計的判定の通りの判断を人が下すのは難しいです。
また、統計的判定であるdifficultyについても同時に出題される他の問題や母集団の影響を大きく受けるので、絶対的な指標とは言い難いです。
こういう難易度の話はゲームでよく見かけますが、ゲームほど中身がインフレする話でもないので、ある程度決まった物差しがあるような気はしてます。
多少いじる環境が整ったら、問題文から難易度推定してみるおもちゃを作ってみようかなと思ったりしてます。