OMCB005 参加記
こんばんは。
本記事では2024/4/10に開催されたOMCB005の感想などを書いていきます。
8問制でwriter8人回になります！やはり人が一番多いのが4bですので、いろんな意気込みが見えますね。前回も初参加という方をちょこちょこ見かけていて、そういう人が継続するきかっけになりたいです。
問題ページは以下です。
参加時の動き
配点は 1-1-2-2-2-2-3-3
開始10分前に腹痛に襲われ、回復に努めているとコンテストが始まっている。コンテスト開始3分後ぐらいに問題を考えられる体制になる。
原因はもともとおなかの調子が怪しい中で直前に炭酸飲料を飲んだところにあるのですが、expertでそうならないように体調管理はしっかりしないといけませんね。
後ろから解こうとするもHの問題が理解できず、勘違いをしてそうだと思ったので飛ばしてGへ
開始が遅れたのでFA狙いせず、答えを書いたまま次に移るようにしたので潜伏していたみたいな提出時刻になった。
G
k<=18はわかるけど、最大のアテがつかない。
左からt桁目をx_tとする。
小さい方から愚直に考える。2をみて、すべての桁がmod2で等しい
3を見て端の二桁のmod3での値が決まれば一意。
k>=5としたとき、x_0+x_4≡0 mod 10
x_0+x_2≡x_2+x_4≡0 mod 3 →x_0,x_4としてありうるのは2,8 8,2 5,5 しかない。
k>=6とすると、x_1,x_5についても同様で、x_0+x_5が6で割れる組み合わせがない。よってk<=5で探索 8***2のパターンで答えが見つかる。
意外と非自明な挙動で面白いパズル問題
F
正d角形が作れるのはdが10000の約数のとき。取り方は10000/d d=1,2のみ不可能で、約数和から10000,5000を引く
E
f(x)=rg(x)+123,g(x)=1/r f(x)+456 と書けて、
g(x)=g(x)+456r+123 -> r=-123/456
f(a)+g(a)=789で f(a)=-123/456g(a)+123 となるのであとは連立するだけ
D
2乗-2乗にして因数分解するとs-r=1で一意に決まる。p,qが入れ替わってもいい点に注意
ところでこの問題今回のセットで一番人気なんですね。（みなさんのツボがわからず）
C
2n+1が小さければフェルマーの小定理よりa^79≡a
奇数の和は(n+1)^2でn=78が最小値 2n+1を答えそうになったり 79を答えそうになったりした。
B
100点の幾何というのは作りにくい（ちょっとそれっぽくするだけで難しくなってしまうので）ですが、これは適正だったらしい。
相似からBC=sqrt(72)なので、三平方の定理と合わせて面積がわかる。二乗なのでsqrtの中身のまま計算したほうが良い
A
全部で9C2 偶数4種素数4種で、2が被ってるので4^2-1通り
H
光線を反射させる問題はよくあるし、折り返していけば適切な考察が得られるのも知っているけど、有理数の点に向かって光線を発射しているから何回か反射したら四隅に到達する。
角でないときの挙動の極限を取る感じで考えればそのまま返ってくる、というような挙動が妥当そうではあるけど、だいたいどこの点で止まるかとか、それまでの光線の進んだ距離とかそういう問い方になる経験があるので、読み間違えや設定の勘違いや、計算するものとしては止まっててもいいものなのかと考察を進める。
正解者がいるのは確認していたので、自分の読み違いや解釈、表記の勘違いを疑って何度も図を書き、読み直すも、よくわからない。
結局角に到達したときにはそのまま返るとしたパターンで一度計算を進めることを決意。ただ、「n回目に線分OA上の鏡で反射されるとき」の解釈もちょっと怪しい（何から数えてn回目？） 問われているのが10冪なので、OA上でのみカウント、という話として計算してみる。
（この辺全部正解者がいるという状況の下で「妥当そう」なのを選択しているだけで、時間を無駄にしすぎではある。）
結局この解釈であっていて、中身としてはひたすら図を折り返せばわかるように、22/41*2n と偶数との距離の最小値がx_nになる。
41倍して考えると10^n mod 82 の値をrnとしてmin(rn,82-rn)を足す。ここで、10^5≡1 mod 41なので5個分たして20倍すればOK
終わって調べたけど、頂点での光線の挙動でそのまま返ってくるというもの見当たらなかった。有理点を取らないように光線発射場所をちょっとズラせばよかったと思う。ただ、普通に通している人が大半だったり、結構な人数のtesterがいる下で特に誰も疑問に思わなかったということで自分の感覚がおかしいのは間違いないらしい。
あと、分野は幾何判定らしい。
感想と反省
8問正解40分37秒で6位でした！最初腹痛にやられていましたが、結果割と良い順位でした。腹痛が無くてもそこまで順位は変わらないと思われます。
今後4bはこんな感じでスピードが重視される感じになりそうですね。強い人にも出ていただけてるのでなんとか食らいつけるように頑張りたいです。
問題セットとしては後半殆ど整数の問題だったなという感覚。こういう偏ったセットはそういうコンセプトとあらかじめ発表されていれば納得できますが…
各問題としては、Gが個人的には面白く感じました。Eは結構苦手意識がある人が多いタイプの出題だったようで、正答率も低く、正答していても時間かかっている人が多かったです。大衆の（？）人気としてはCが一番だったようです（こういうのがわかるのはLIKEDの面白いポイントかもしれません）
チーム戦は好成績をキープしています。チームメンバーも大失敗が少ないというのはやはり強いですね。
雑多なトピックス
H問題にあった「角での光線の挙動」についてちょっと気になるのでアンケートを取ってました
終わったことをしつこく言及するのは気が引けるのですが、単純な興味で。
— bzuL (@lumathzb) April 11, 2024
OMCB005(H)のように正三角形の内部で光線の反射を考えたときに、頂点に到達した光線はどういう挙動を取ると定義しますか。
正三角形でなく、x度で曲がった境目に光線を発射した後の挙動として適切そうな定義は何か、というのは意外と間違えやすそうです。境目付近での反射の挙動をみて、極限を取ることを考えるのが妥当そうですが、結構扱いに注意がいる内容と思います。
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