解析入門I - 実数列の極限6

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この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。

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この記事では極限の性質の内、四則演算にかかわるものを議論する。

数列$${(a_n), (b_n)}$$に対し、それぞれの極限が存在するならば
1. $${\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n)=\lim_{n \to \infty}a_n + \lim_{n \to \infty}b_n}$$
2. $${\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n)=\lim_{n \to \infty}a_n - \lim_{n \to \infty}b_n}$$
3. $${\lim_{n \to \infty} (a_n b_n)=\lim_{n \to \infty}a_n \cdot\lim_{n \to \infty}b_n}$$
4. $${\lim_{n \to \infty} (a_n/ b_n)=\lim_{n \to \infty}a_n / \lim_{n \to \infty}b_n}$$
である。ただし、4. についてはある自然数$${n_0}$$が存在して$${n \ge n_0}$$に対し$${b_n \neq 0}$$、および$${\lim_{n \to \infty} b_n \neq 0}$$を仮定する

極限と四則演算

$${a \equiv \lim_{n \to \infty} a_n,\ b \equiv \lim_{n \to \infty b_n}}$$とおく。まず、1. と 2.について示そう。三角不等式より

$$
|(a + b) - (a_n + b_n)| = |(a - a_n) + (b - b_n) \le |a-a_n| + |b-b_n|
$$

が成り立つ。このとき任意の$${\varepsilon' \gt 0}$$に対し、自然数$${n_a, n_b}$$が存在して、$${n_0 \ge n_a, n_1 \ge n_b}$$において

$$
|a-a_{n_0}|, |b-b_{n_1}| \lt \varepsilon'
$$

が成り立つ。つまり$${|a-a_{n_0}| + |b-b_{n_1}| \lt 2\varepsilon}$$である。そうすると$${\varepsilon \equiv \varepsilon'/2}$$とおき、$${n \ge \max\{n_a, n_b\}}$$に対して以下を得る。

$$
|(a + b) - (a_n + b_n)| \le |a-a_{n}| + |b-b_{n}| \lt \varepsilon
$$

したがって$${\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = a + b}$$となる。2. $${(a_n - b_n)}$$については

$$
|(a - b) - (a_n - b_n)| = |(a - a_n) + (b_n - b)| \le |a-a_n| + |b-b_n|
$$

が成り立つことより、直ちに$${\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) = a - b}$$となる。次に3. について示そう。さて、$${(a_n), (b_n)}$$は収束することがわかっているのだから有界である。すなわちある正数$${M \gt 0}$$が存在して、すべての自然数$${n}$$に対し、$${|a_n|, |b_n| \le M}$$が成り立つ。このとき

$$
\begin{array}{l}
|ab - a_nb_n| \\
= |a(b - b_n) + b_n(a - a_n)| \\
\le |a(b - b_n)| + |b_n(a - a_n)|\\
= |a||b-b_n| + |b_n||a-a_n|\\
\le |a||b-b_n| + M|a-a_n| 
\end{array}
$$

が成立する。一方任意の$${\varepsilon \gt 0}$$に対し、ある自然数$${n_0}$$が存在して$${n \ge n_0}$$において

$$
|a - a_n| \lt \frac{\varepsilon}{2M}, |b - b_n| \lt \frac{\varepsilon}{2|a|}
$$

が言えるから

$$
\begin{array}{l}
|ab - a_nb_n| \\
\le |a||b-b_n| + M|a-a_n| \\
\lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
= \varepsilon
\end{array}
$$

となることから、$${\lim_{n \to \infty}(a_n b_n) = ab}$$を得る。最後に4. について証明する。なお、3'. $${\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{b}}$$を示せれば3. と3'. により直ちに4. が従うので、3'. のみ示すことにする。

ある自然数$${n_1}$$以上の自然数$${n}$$に対して

$$
\frac{1}{2}|b| \gt |b - b_{n}| = |b + (-b_n)|\ge |b|-|b_n|
$$

であるから、$${|b_n|\gt \frac{1}{2}|b|}$$が成り立つ。特に$${b_n \neq 0}$$である。(さもないと、$${b = 0}$$となってしまう) そこで、

$$
\left|\frac{1}{b} - \frac{1}{b_n} \right| = \frac{|b-b_n|}{|bb_n|} \lt \frac{2|b-b_n|}{|b|^2}
$$

となる。$${(b_n)}$$は収束するから、任意の$${\varepsilon \gt 0}$$に対し、自然数$${n_2}$$が存在して、$${n \ge n_2}$$ならば

$$
|b - b_n| \lt \frac{|b|^2}{2}\varepsilon
$$

が成立する。ここで$${n_0 \equiv \max\{n_1, n_2\}}$$とおけば、$${n \ge n_0}$$なる$${n}$$に対してすべての不等式が成り立つから、

$$
\left|\frac{1}{b} - \frac{1}{b_n} \right| \lt \frac{2|b-b_n|}{|b|^2} = \varepsilon
$$

となり、3'. が証明された。

以上より、1., 2., 3., 4.が示された。