ChatGPTに大学入試数学を解いてもらい誤答から正答に至る理由も聞いてみた
Q.解答してください
$$
\int_0^{\pi} e^{-x}\sin{x} dx
$$
(1)は普通に解けるとして
$$
\lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi} e^{-x}|\sin{x}| dx
$$
が問題だが案の定(2)については最初誤答した。
Q.誤答です。やり直してください
何度か間違える
Q.この極限は収束します。やり直してください。
収束するというヒントを出すと正解した模様。
かつて自分で解いた際も
$$
\int_0^{n\pi} e^{-x}|\sin{x}| dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x}|\sin{x}| dx
$$
このようなやり方をした気がする。
Q. sin x部分をsin nx にして解いてください
$$
\lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi} e^{-x}|\sin{nx}| dx
$$
も解いてもらった。
こちらもどこかの入試で出題されていたはず。
精査してないが合ってると思う。
Q. 最初誤答し、その後正解した理由を教えて下さい
誤答から正解に至った過程を教えてくれた。
人間と同じような間違い、同じような思考だと思った。
ChatGPT
初めに誤答し、その後正解できた理由を説明します。
誤答の理由
初期の見落とし: 最初の解答では、$${\lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx}$$の計算において、関数$${e^{-x}}$$の減衰効果が十分に考慮されていませんでした。積分の区間が無限に広がるため、単純に各区間の積分結果を無限大まで合計してしまうと無限大に発散すると考えてしまいました。
区間の誤解: 各区間 $${[0,π]}$$の積分結果が周期的に繰り返されることを正しく理解していながら、積分の結果がどのように収束するかについて、無限大に発散するものと誤解しました。
数列の極限の計算不足: 無限級数の和を計算する段階で、正確な極限の取り方を確認しませんでした。そのため、収束するかどうかの判断が誤っていました。
正解に至った理由
詳細な再検討: 指摘を受けて、再度問題の詳細な検討を行い、積分の区間分割と収束の概念を正確に適用しました。特に、関数$${e^{-x}}$$が指数関数的に減衰する特性を再評価しました。
等比級数の適用: 各区間 $${[kπ,(k+1)π]}$$ での積分が等比級数の和に帰着することを正確に把握し、その和の極限を計算しました。等比級数の和を公式を用いて正確に求めることで、正しい収束値を導き出しました。
無限大の取り扱いの改善: 無限大における極限の取り扱いにおいて、数列の和とその収束を正確に計算し、積分の結果が有限の値に収束することを正確に示しました。
まとめ
最初の誤答は、積分結果の取り扱いにおいて減衰効果と収束の概念が適切に反映されていなかったためです。再度検討し直し、関数の特性と等比級数の和の取り扱いを正確に適用することで、正しい解答に至ることができました。この過程は、数学的な問題を解く際に、見直しと再検討が重要であることを示しています。指摘を受けて見直しを行うことで、より正確な解答を導くことができるようになりました。
学習を通じてのこのプロセスは、理解を深めるための良い経験です。今後もこのような手順を大切にしていきましょう。何か他に質問やさらに深めたい知識があれば、気軽にお知らせください。
twitter @bahruh