CSSセレクトボックスの矢印をクリックしてもプルダウンメニューが表示されない

セレクトボックスの親要素にpointer-events: none;を指定すればOKです

pointer-events: none;

/* CSS */

.select-box {
  position: relative;
}

.select-box::after {
  display: inline-block;
  position: absolute;
  top: .625rem;
  right: 1rem;
  pointer-events: none;

  /* FontAwesome */
  font-family: 'Font Awesome 5 Pro';
  font-weight: 900;
  content: '\f078';
  color: #bbb ;
}

矢印をクリックするとプルダウンが表示されました