100連ガチャを通して確率分布について学んでみた

こんにちは、Youtubeの動画でドラクエタクトに関する動画を見ることがあります。動画では、ピックアップキャラクターが出ないケースが多くあり、実際の確率ってどの程度が調べてみました。
また、それに付随して確率論について少し学んでみようと思い、今回は、それについて記載していきます。

100連ガチャで出現率0.7 %のピックアップキャラクターが出る確率

ピックアップキャラが出る確率を計算してみました。出現率0.7 %でピックアップキャラクターが100連ガチャで出る確率は50.5 %でした。また、99% そのキャラクターが出るガチャの回数は656回必要です（150連、300連での確定分や100連毎のSキャラ確定枠について無視しています）。

100連で３万円程、課金されている方達もいらっしゃいますので、この確率を見ると、結構闇が深いと思いました。他のソシャゲでも似たような仕組みがあると思いますが、課金については程々にしておいた方が良いかもしれませんね。参考として、EXCELの計算結果を示しますので、もしご興味あればご自分で計算下さい。

ガチャの確率

確率分布について学んでみた

ちょうど良い機会ではありましたので、、確率分布について学んでみました。簡単ではありますが、学んだ内容について簡単に書いていきます。
確率分布については次の分布があるそうです。
・ベルヌーイ分布
・幾何分布
・二項分布
・ポアソン分布
・正規分布
個人的には、二項分布とポアソン分布について興味が持てましたので、それについて記載していきます。

二項分布とポアソン分布の数式で表せます。
・二項分布：$${X={}_nC_k p^kq^{n-k}}$$
・ポアソン分布：$${X=\lim_{n \to \infty}{}_nC_k p^kq^{n-k}={\frac{x^ke^{-\lambda}}{k!}}}$$

二項分布については、数式から内容を理解できましたが、ポアソン分布については、この数式を見ても意味が分かりづらい。
ポアソン分布を求めるには、二項分布の期待値を固定して、試行回数を十分に大きくして、成功確率を十分に小さくする。定義と数式を見ると、一体どういう違いがあるのかピンときません。個人的な考えではありますが、こちらの数式のイメージを持つには、ネイピア数についての理解が必要かと思いました。

ネイピア数

ネイピア数については、ヤコブ・ベルヌイ（1654〜1705）がこの数を見つけた人だと言われています。ネイピア数については微分・積分で大活躍するイメージがありますが、ネイピア数、発見のきっかけは金利の計算だったと言われています。ここで、金利の計算を例に、ネイピア数を見てみましょう。

例）金利の計算
年利100 %で貸し付けた場合、1年後の元利の合計は2倍、これを同じ金利で、半年毎に利子を貰ったとすると、2.25倍になります。

試行回数を増やしていくと、お金がどんどん増えていくのが分かります。ここで、試行回数をどんどん増やしてみましょう。

試行回数を増やしても、2.7位で数字が落ち着きますね。これがネイピア数となります。

ポアソン分布は、「二項分布の期待値を固定して、試行回数を十分に大きくして、成功確率を十分に小さくする」でしたから、確かに、金利の計算でも試行回数が多くないと、ネイピア数に近づかないことから、試行回数が多くないと駄目なのは、何となく理解できました。今回、二項分布からポアソン分布の導出については省略します。

まとめ

今回の投稿では、「100連ガチャを通して確率分布について学んでみた」をテーマに記載してみました。確率分布については、細かく記載するのが大変だと感じ、ざっくりとした形での紹介となりました。もし、書いて欲しいテーマ等あれば、コメントいただけると幸いです。
最後に、こんな記にお付き合い頂きまして、誠にありがとうございました。