一般計量士(計量に関する基礎知識)

2023年11月19日 16:12

これもかなり似たような問題が多い印象
数学が多めなのはともかく物理はやや難電磁気は専門外なので知らん
数学については過去の過程の数ⅢCとか言ってた時代の人なら解けるはず
行列なんて高校でやらない世代は全く未知なので少し厳しい気がする
複素数平面はほぼ出ないし

平成30年

答え 1
(1+√2+√3)(1+√2-√3)=(1+√2)²-3=2√2より
1/(1+√2+√3)=(1+√2-√3)/2√2=(√2+2-√6)/4

答え 4
10^n<30³⁰<10^(n+1)になるはずなので
n<30log₁₀30=30(log₁₀10+log₁₀3)=30×1.477=44.31<n+1よりn=44
n=1なら10<x<100でxが2桁になることを思えば44+1=45桁なことがわかる

答え 1
4=C₁+2C₂, 3=2C₁+C₂で連立方程式を解くと(C₁, C₂)=(2/3, 5/3)
まあ解かなくても上から順に入れていけばいいと思う

答え 1
解と係数の関係からα+β=-(-2)/2=1, αβ=1/2なので
α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)=1-3/2=-1/2

答え 2
1～10で9個, 11～20で9個…71～80で9個, 81～88で8個, 100で1個なので
100までで9×8+8+1=81個
200までで81×2個,…800までで81×8個, 888まで81×8+80個, 1000で1個なので1000までで81×8+81+1=81×9=729個
2000までで729×2個
2600までで729×2+81×6=1944
2700までで729×2+81×7=2025なので2682

ちなみに9進数にすると早い
2018÷9=224…2
224÷9=24…8
24÷9=2…6なので2682

答え 5
5はグラフの形からして-sinAやろなあというのはともかくA=0, B=π/2で計算するとか加法定理使うとかでどうぞ
cos(A+π/2)=cosAcosπ/2-sinAsinπ/2=-sinA

答え 3
グラフを書くとわかるが実数の範囲では(x,y)=(-1,-1),(0,0),(1,1)の3点で交わる
原点に関して対称なことも踏まえると
2∫(x^1/3 - x^3)dx=2(3(x^4/3)/4 -(x^4)/4)で、x=0→1の積分なので
S=2(3/4-1/4)=1

答え 5
行列をA, 固有ベクトルをxとすると(A-λE)x=0となるので、
a(1-λ)-i=0かつa²+(1-λ)=0となる。これを解くとa=i
なお、λは固有値で今回は0

答え 3
公式そのまま

答え 2
標準偏差

答え 4
A工場の不良品である確率は1/25×1/4=1/100
B工場の不良品である確率は1/50×3/4=3/200
当然独立なので1/100+3/200=5/200=1/40

答え 3
あたりの1,2,3とはずれの4,5のくじを考える。取り出し方は₅C₂=10通り
両方当たりなのは₃C₂=3, 両方はずれなのは1の計4通りなので(10-4)/10=3/5

答え 2
ひもが切れるとθのままおもりがすすんでいくので、P-おもり-床の直線の交点が落下先。Oからの距離でいうとhtanθ

答え 3
まずは抵抗を求める。RB, RCが並列で合成抵抗Rは1/R=1/1+1/1.5よりR=0.6kΩなのでRAと足すと1kΩになる
この場合の電流Iは3/1000Aで、RAの電位差V=RI=0.4×10³×3/1000=1.2V
よってコンデンサーのエネルギーはCV²/2=1×10⁻⁶×1.2²/2=0.72μJ

答え 5
長さをLとすると力F=IBLで両端の電位差V=νBLなのでFν=IBL×V/BL=IV

答え 3
結論だけ述べると入射角と同じになる

答え 4
1/a+1/b=1/fよりb=af/(a-f)

答え 3
振動数ν, プランク定数h, 光速c, 波長λを用いてエネルギーE=hν=hc/λ
波長150nmの光を当てて波長300nmの束縛エネルギーを突破した時の残りのエネルギーはE=hc(1/λ₁₅₀ - 1/λ₃₀₀)であり、質量m, 速度vを用いたE=mv²/2と等しいので、
v²=2hc/m ×(1/λ₁₅₀ - 1/λ₃₀₀) = 2×(6.6×10⁻³⁴)×(3.0×10⁸)/(9.1×10⁻³¹) ×(1/(150×10⁻⁹) - 1/(300×10⁻⁹))≒1.45×10¹²
v≒1.2×10⁶

答え 4
角運動量L=mνr=nh/2π(問題文より)で
円周2πr=nλが解釈なので代入するとmνr=2πr/λ ×h/2πよりλ=h/mν

答え 2
反射で周波数は変わらないのと併せて公式で2になる

答え 1
一般的なステンレス鋼密度7.9g/cm³を考える。
元のステンレス鋼が100cm³であれば790gであったところ、10℃上昇によって体積膨張率3×2×10⁻⁵を考えると6×10⁻⁴だけ大きくなるので100cm³は100(1+6×10⁻⁴)=100.06cm³になる。790gは変わらないので密度は790/100.06=7.895g/cm³となる。これは0.06%小さくなるのとだいたい同じ

答え 5

答え 1
2 : 平面角はrad
3 : LはSI基本単位ではない
4 :dBはSI併用単位
5 : 磁束密度のSI単位はT

答え 2
200Kで600m³/h, 0.5m²であれば流速は600/3600[m³/s]÷0.5[m²]=1/3[m/s]
300Kでは体積は1.5倍になるので1/3×3/2=1/2[m/s]

答え 5
圧力はρgHなので掛け合わせて一番でかいものが答え

令和元年

答え 5
EC=AC-AE=(AB+BC)-(AF+FE)=(a+b)-((-a+b)+b)=a+b+a-b-b=2a-b

答え 4
x=0のときy=2×3×1>0なので2,3,4のどれか
x=-3のときy=1×(-2)×4<0なので3か4
x=-1.5のときy=0.5×(-0.5)×2.5<0なので4

答え 4
2^n<12¹⁵<2^(n+1)でn<15log₂12=15(log₂2²+log₂3)≒15(2+1.58)=53.7<n+1よりn=53なので54桁

答え 2
sinの関数はπ/2で対称なのでπ/2からの距離が等しければ=になる

答え 1
LMは三平方の定理から1/√2
ALとAMはどちらも√5/2
Aから垂線をおろして高さを求めると3/2√2なので面積は3/8

答え 3
1/n(n+3)=(1/n - 1/(n+3))/2なので
Σ1/n(n+3)=((1/1-1/4)+(1/2-1/5)+(1/3-1/6)+(1/4-1/7)+…(1/n-(n+3))/3
=(1/1+1/2+1/3+1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3))/3なのでn→∞では
(1+1/2+1/3)/3=11/18

答え 5
f'(x)=e^-x - (x-1)e^-x=(2-x)e^-x
f''(x)=-e^-x - (2-x)e^-x=(x-3)e^-xなので微分係数はx=3で最小
(x,f(x))=(3,2e⁻³)を通るのは5のみ

答え 2
ケーリーハミルトンの定理より0

答え 3
面倒なので略

答え 1
分布関数を確率変数で微分すると確率密度関数

答え 5
y=x+1上にキレイに乗ってるので1

答え 4
2⁵=32通りのうち〇〇×××の組合せは₅C₂=10通り

答え 5
左図でmv²/2=mghよりh=v²/2g
右図でぶつかった後の速度v'はmv²/2=2mv'²/2よりv'=v/2
2m×(v/2)²/2=2mgh'よりh'=v²/8g

答え 3
中央に戻す力と遠心力が釣り合うので
k×aL = mv²/((1+a)L

答え 3
電流I=E/(r+R)で電力W=RI²=E²R/(r+R)²となり、f(R)=R/(r+R)²とすると
f'(R)=1-2R/(r+R)でf'(R)=0ならR=rなのでWの最大値は
W=E²r/(2r)²=E²/4r

答え 2
向きが逆なので斥力で力は長さに比例するので2

答え 3
1/f=1/a+1/b=(a+b)/ab

答え 5
1/10=(1/2)^(t^5700)より-1=-t/5700 × log₁₀2
t=5700/0.3=19000年
さっぱりわからなくても3回半減期を迎える(1/8になる)のは間違いないんだから5700×3=17100年以下の1～3は選ばないようにすること

答え 2
公式の通り

答え 3
入射角をθ₁, 屈折角をθ₂とするとn₁sinθ₁=n₂sinθ₂で全反射する場合はθ₂=π/2なのでsinθ₁=n₂/n₁

答え 4
60kJ/60s=1000J/s=1000Wで20%なので200W

答え 1
ボイルシャルルの法則よりPV/Tは一定で、今回はPが固定なのでV/Tが一定
V∝hなのでT∝hとなる

答え 4
電気素量はC

答え 1
単位面積当たりの力=圧力が左右で等しいので
F/25π=9.8/100πよりF=9.8/4≒2.5N

答え 5
160[kg/s]÷800[kg/m³]=0.2[m³/s]=720[m³/h]

第71回(令和2年)

答え 4
ABとECが平行でECの長さもBEの長さと等しいので4

答え 1
20²⁰≡6²⁰≡(-1)²⁰≡1(mod 7)

答え 2
A : a=2m+1, b=2n+1ならab=2(2mn+m+n)+1
B : a²+b²=2(2m²+2m+2n²+2n+1)
C : a=1, b=0のとき3a+2b=3

答え 3
-x²+x=-x+aでx²-2x+a=0なので(x-1)²=0になれば接するといえる

答え 5
z=2i(1-√3i)/4=(i+√3)/2なのでy=i+√3を考える
y²=2(1+√3i), y³=8iなのでy⁶=-64

答え 4
x/2, x/4, x/8が全て2πの整数倍になるのは16π

答え 2
∫sinxdx=-cosxなので0→πでは-(-1-1)=2なのでπ/2 × 2=π

答え 5
OC=xとするとL=x+2√{(x-1)²+1}=x+2√(x²-2x+2)
L'=1+(2x-2)/√(x²-2x+2)でこれが0なら2(1-x)=√(x²-2x+2)
4(1-2x+x²)=x²-2x+2で3x²-6x+2=0, x=1±√3/3

答え 1
公式のまま

答え 3

答え 4
1個の目の期待値は3.5=7/2なので7³/2³

答え 2
1本目が外れなら3/5×2/4=3/10
1本目もあたりなら2/5×1/4=1/10

答え 1
x=V₀cos(α+β)T, y=V₀sin(α+β)T-gT²/2でy=xtanαなのでこれを解く

答え 5
ロープ張力Tに対し、Tcosθ=mg, Tsinθ=Fなのでtanθ=F/mg

答え 4
t≒0ならV/R, t=∞なら0になるのでそのような式は5のみ

答え 4
1/f=1/a+1/bよりb=af/(a-f)で倍率b/a=f/(a-f)

答え 3
1/20=(1/2)^(T/30)より-log₁₀20=-Tlog₁₀2/30
T=30log₁₀20/log₁₀2=30(log₁₀10+log₁₀2)/log₁₀2=30(1+0.3)/0.3=130

答え 5
340[m/s]÷1.0[ms]=340[m/s]÷1000[s]=0.34m

答え 1

答え 2
固体体積Vとして見かけの質量m=M-ρV=M-ρM/ρs

答え 4
海の面積をS、深さをh、膨張係数をαとすると体積変化はShα⊿Tなので海面上昇幅はShα⊿T/S=hα⊿T=4000×2×10⁻⁴×1=80cm

答え 1
パスカルは圧力力はニュートン

答え 2
超電導状態では抵抗は0

答え 3
1800m³/h=0.5m/sなので800[kg/m³]÷0.5[m/s]=1600[kg/s]

答え 3
左側は10g/0.1=100g[N/m²]
右側は1000×0.05h×g/0.05=1000hg[[N/m²]なのでh=0.1m

第72回(令和3年)

答え 3
AC+CD=AD
AO=1/2AD
ED=ABかつAF=BOでAB+BO=AOなので
AB+b=1/2(a+b)よりAB=a/2-b/2

答え 5
(20211212)₃=2×3⁷+2×3⁵+3⁴+3³+2×3²+3+2=4374+486+81+27+18+3+2=4991
4991÷9=554…5
554÷9=61…5
61÷9=6…7より(6755)₉

答え 4
とりあえず全部解いて概算したらいいと思う
1 : x=3±√5≒0.8, 5.2
2 : x=2,4
3 : x=(7±√33)/2≒0.7, 6.3
4 : x=(7±√17)/2≒1.5, 5.5
5 : x=3,4

答え 4
垂直ということは内積が0ということ
AB=(-1,-1,0), AC=(-1,0,2), BC=(0,1,2)でn=(x,y,z)とすると
-x-y=0, -x+2z=0, y+2z=0でこれを解くと
n=(2,-2,1)

答え 3
z²+1/z²=(z+1/z)²-2=(1+i)²-2=-2+2i

答え 2
tanx=3ならcosx=1/√10, sinx=3/√10なので
sin2x=2sinxcosx=3/5

答え 1
分子に(x+1)と(-1-3)=-4になる⇔(x-3)がある必要があるので
(x+1)(x-3)=x²-2x-3でa=-2, b=-3

答え 2
ax+b=x²+x+1⇔x²+(1-a)x+(1-b)=0でD=(1-a)²-4(1-b)=0
ax+b=x²+2x+2⇔x²+(2-a)x+(2-b)=0でD=(2-a)²-4(2-b)=0
頑張って解いて(a,b)=(-1/2, 7/16)

答え 1
f'(3)=27+6a+b=0になるかつ2=1+a+b+cで
1 : 27-18-9=0, 2=1-3-9+13
2 : 27-6+3≠0
3 : 27+6-3≠0
4 : 27+18+6≠0
5 : 27+36-12≠0なので1しかない
正確に解くなら点対称の条件を使ってx=-1で極大になるので計算する

答え 5
標準偏差は代表値からの差を2乗して総和にして個数で割ってルート
平均偏差は代表値からの差の絶対値の総和を個数で割る

答え 5
1,2,3,…9で1,2,3が赤とすると取り出し方は₉C₂=36通りで赤なしは₆C₂=15通りだから赤ありは21通り
21/36=7/12

答え 2
6³=216通りのうち(1〜4,5,5)の形になるのは4通りで、この出る順番を考えると4×3=12通り
(1〜4,6,6)も同じなので追加で12通り
(1〜4,5,6)の形は4×(3×2)=24通りなので計48通り
48/216=2/9

答え 1
頂点での速度をvとするとmv₀²/2=mgH+mv²/2
Bでの速度のcos45°=1/√2がvなのでBでの速度をVとするとmv₀²/2=mgh+mV²/2となる
これを合体すると1になる

答え 2
AはF=kx₁=2Mg, BはF=kx₂=Mg

答え 4
F=mv²/r=eνB

答え 3

答え 5
間隔をdとし、行と帰りの2回だと2dtanθだけずれる値がλなので
λ=2dtanθ

答え 1
二つの三角形は相似なのでL₂/L₁=f₂/f₁

答え 3
半減期3回なら(1/2)³=1/8

答え 4
3.0×10⁸÷(600×10⁻⁹)=500×10¹²

答え 3
水100Lを20℃上げられるだけの熱量を石が供給したということ
水の密度は1kg/Lとして20×100×4=500×x×1
x=16kg

答え 1

答え 2

答え 4
2.0m/s=7200m/hで0.050m²なら3600m³/h
よって1000[kg/m³]×3600[m³/h]=360000[kg/h]

答え 5
取り出せば取り出すほど質量は減るんだし圧力も減るのでは?

第73回(令和4年)

答え 2

答え 5
A₁=-1+i, A₂=1+5iなのでw=(1+5i)(1+i)/(-1+i)(1+i)=(6i-4)/(-2)=2-3i

答え 3
(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹

答え 4
cos2x=1-2sin²xでx≒0ならsinx=xとしていいので1-2x²とみなすと
1-(1-2x²)=2x²なので2x²/x²=2

答え 2
x+1=√3なのでx³+x²+x+1=x²(x+1)+(x+1)=(x+1)(x²+1)=(x+1)((x+1)²-2x))=√3×(3-2√3+2)=√3(5-2√3)=5√3-6

答え 5
(√2)⁶=8, (³√3)=9なので1か5
(√2)¹⁴=128, (⁷√7)¹⁴=49なので5

答え 4
分子はΣ(3N-1)=3N²/2+N/2

答え 1
グラフの形からa>0, d<0なのはわかる
でx軸との交点を考えるとf(x)=a(x+1)²(x-1/2)くらいになりそう
この場合f(x)=a(x²+2x+1)(x-1/2)=a(x³+3x²/2-1/2)なので
c=0, b>0っぽいのでd<c<a or b が決まる→1か2
概算じゃ決まらなかったので素直にf'(-1)=3a-2b=0よりb=3a/2だからa<bを得る

答え 1
f(x)=2+sin²xならf'(x)=2sinxcosx=sin2xなので
(与式)=[2+log|sinx|]で0→π/2なのでlog3-log2=log3/2

答え 5
中央値は8 9は平均値

答え 4
両方とも男子なのは3/5×2/4で両方女子は2/5×1/4
1-6/20-2/20=3/5

答え 1
平均値は(1×1+2×2+3×2+4×1)/(1+2+2+1)=2.5
不偏分散は=(1×1(-2.5)²+2×(2-2.5)²+2×(3-2.5)²+1×(4-2.5)²)/(1+2+2+1-1)=1.1

答え 4
落下直前の速度はmv²/2=mghよりv=√2gh
落下直後の左方向の速度は斜面方向の速度と斜面垂直方向の速度を合成した値だが、ちょうど45°なのでvと同じ
水平面への落下までの時間をtとすると、落下距離は左方向にvt=acos45°
下方向にgt²/2=asin45°でこれを解くとh=a/4√2

答え 1
導体中は電場がなく、導体に囲まれた空間も静電遮蔽で電場がない

答え 4

答え 3
平成30年の問18と同じ
振動数ν, プランク定数h, 光速c, 波長λを用いてエネルギーE=hν=hc/λ
波長150nmの光を当てて波長300nmの束縛エネルギーを突破した時の残りのエネルギーはE=hc(1/λ₂₀₀ - 1/λ₄₀₀)であり、質量m, 速度vを用いたE=mv²/2と等しいので、
v²=2hc/m ×(1/λ₂₀₀ - 1/λ₄₀₀) = 2×(6.6×10⁻³⁴)×(3.0×10⁸)/(9.1×10⁻³¹) ×(1/(200×10⁻⁹) - 1/(400×10⁻⁹))≒1.09×10¹²
v≒1.0×10⁶