【翻訳】What is Expected Value in Poker?

ABC2022

ポーカーにおける期待値とは？

Expected value (EV) is the most fundamental metric in poker. Every decision you make is underpinned by one common goal – to maximize return. In order to do that, you need to weigh the long-term profitability of each and every action you take.
期待値(EV)はポーカーで最も基本的な指標である。あなたが下す全ての決断は、リターンを最大化するという共通の目標によって支えられています。そのためには、一つ一つの行動に対して、長期的な収益性を考慮する必要があります。

Expected value is how much you expect to win or lose with a specific play over the long run.
期待値とは、特定のプレイで長期的にどれだけの勝ち負けを期待できるかということです。

Where does EV come from?

EVはどこから来るのか？
Let’s imagine you played a game where everyone checked down every hand. Obviously, no one would have an edge because equity is evenly distributed. In order to gain you need to win more than your fair share.
全員がすべてのハンドをチェックダウンするゲームをプレイしたとしましょう。エクイティは均等に分配されるので、明らかに誰も優位に立つことはできないでしょう。利益を得るためには、自分の公正な取り分よりも多く勝つ必要があります。

So, where does EV come from? In its purest form expected value comes from organizing your equity more efficiently than your opponents. That means putting the right kind of hands into your betting/checking lines, knowing how to utilize sizing, knowing which hands are profitable enough to continue, and which hands to let go.
では、EVはどこから来るのだろうか？最も純粋な期待値とは、自分のエクイティを相手よりも効率的に整理することから生まれます。つまり、適切な種類の手をベット/チェックラインに入れること、サイジングの活用法、継続するのに十分な利益をもたらす手と手放すべき手を知ることです。

There are only two ways to win chips in poker; win the pot at showdown, or make everyone else fold. For this reason, most HUDs will organize your results graph into red/blue lines, indicating chips won with and without showdown. It then follows that there are two types of EV:
ポーカーでチップを獲得する方法は2つだけです。ショーダウンでポットを獲得するか、他の全員をフォールドさせるかです。このため、ほとんどのHUDでは、ショーダウンの有無にかかわらず、獲得したチップを赤線と青線で表示します。したがって、EVには2種類あります。

  • Showdown EV – Chips won/lost at showdown
    ショーダウンEV - ショーダウンでのチップの獲得/喪失

  • Fold EV – Chips won/lost from folding or making your opponents fold
    フォールドEV - フォールドまたは相手にフォールドさせることによって得られるチップの獲得/喪失。

Fold EV, denying equity and folding out worse

フォールドEV、エクイティの否定、フォールドアウトの悪化

One of the most fundamental aspects of fold EV is this: You cannot gain from folding hands that have no chance of winning against you. You gain from folding hands that could have beaten you.
フォールドEVの最も基本的な点の1つはこれです。あなたに勝つ見込みのない手をフォールドさせても得をすることはありません。あなたに勝つ可能性のある手をフォールドさせる事で利益を得ることができるのです。

If you have the nuts on the river, you can only gain EV by making worse hands put in money. This is the simplest example of gaining “Showdown EV”. You don’t gain anything from folding out worse hands (all you’re doing is shifting your “showdown EV” into “fold EV”). The only way to gain from folding your opponent’s 0% hands is if those hands could have bluffed you off your equity later.
リバーでナッツを持っている場合、より悪い手をお金に換えることでしかEVを得ることができない。これが「対決EV」を獲得する最もシンプルな例です。悪い手をフォールドアウトしても何も得られません（「ショーダウンEV」を「フォールドEV」にシフトしているだけです）。相手の0%の手札をフォールドして得をするのは、その手札が後であなたのエクイティをブラフで奪うことができた場合だけです。

Let’s say you bet top-two on the turn, and your opponent folds a flush draw. You gain EV from folding worse hands that can outdraw you, however, you also gain EV when worse hands call you. Denying equity from worse hands that can outdraw you can be thought of as a form of fold equity.

例えば、あなたがターンでトップ2にベットし、相手がフラッシュドローをフォールドしたとします。あなたより弱い手をフォールドすることでEVを得られますが、弱い手からコールされることでEVを得ることもできます。あなたをアウトドアーできる悪い手札からのエクイティを否定することは、フォールドエクイティの一形態として考えることができます。

Typically you’d rather have worse hands call you. But if those worse hands have high implied odds against your hand it may actually be preferable to see them fold. This ties into the concept of over-realizing your equity.
一般的に、あなたはより悪い手札にコールされることを望む。しかし、その悪い方の手があなたの手に対して高いインプライドオッズを持っている場合、その手がフォールドするのを見る方が実際望ましいかもしれません。これは、自分のエクイティを過大評価するという概念と結びついている。

Thin block-bet example

シンブロックベットの例

Let’s say you have 2nd pair, out of position, and block-bet the river. You’re gonna get called by better sometimes, you’re gonna get called by worse sometimes, you’re gonna get raised sometimes, and you’ll fold out hands that you had beat anyway. Did you gain anything from making worse hands fold?
例えば、あなたがセカンドペアを持ち、アウトオブポジションで、リバーでブロックベットしたとします。あなたは時々良い方にコールされ、時々悪い方にコールされ、時々レイズされ、そしていずれにせよ勝っていた手をフォールドすることになるでしょう。悪い手をフォールドさせることで、何か得るものがありましたか？

The answer might be yes. Those worse hands that fold may have bluffed you off your pair had you checked. This block-bet may even have a negative showdown EV and still be the best play. This is why you’ll sometimes see solvers block-bet OOP with value hands that have less than 50% equity when called.
答えは「イエス」かもしれない。フォールドするような悪いハンドは、あなたがチェックをしていればブラフでペアを消していたかもしれない。このブロックベットはショーダウンのEVがマイナスであっても、ベストなプレイとなる可能性がある。このため、ソルバーがコールされたときに50%以下のエクイティしかないバリューハンドでOOPブロックベットをするのを時々見かけます。

EV relativity

EV相対性理論

One of the most common misconceptions about expected value is that “folding is always 0 EV”. However, this is only true if you choose to define folding as 0. You could also measure EV as the difference in stacks relative to the start of a hand. This perspective is equally valid.
期待値に関する最も一般的な誤解の一つは、「フォールディングは常に0EV」であるというものです。しかし、これはフォールディングを0と定義した場合にのみ当てはまることで、EVをハンドの開始時からのスタックの差として測定することもできます。この視点も同様に有効です。

Imagine you 3bet to 11bb and face a 4bet of 25bb. If you fold, you’ve just lost 11bb. If you do that 100 times you’ll lose 1100bb! So how can this be if folding is always 0 EV?
あなたが11bbに3ベットし、25bbの4ベットに直面したとする。フォールドすれば、11bbの損失です。これを100回繰り返せば、1100bbの損失です。では、フォールドが常に0EVであるなら、これはどうなるのでしょうか？

From the perspective of your decision facing a 4bet, your original 11bb raise is a sunk cost, and folding can be considered 0EV. From the standpoint of your starting stack, folding lost 11bb. Both perspectives are valid. All you’re doing is comparing the EV of different strategic choices at the end of the day.
4bet に直面したときのあなたの判断からすると、最初の 11bb のレイズはサンクコストであり、フォールディングは 0EV と見なすことができる。あなたのスタート時のスタックから見れば、フォールディングは11bbを失ったことになる。どちらの視点も有効です。あなたがしていることは、一日の終わりに異なる戦略的選択のEVを比較することである。

It’s important to realize that EV is always measured relative to something else. If you define folding as 0EV, then the EV of calling is relative to the EV of folding.
EVは常に何か他のものとの相対的な関係で測られることを認識することが重要である。もし、フォールディングを0EVと定義するならば、コールのEVはフォールディングのEVと相対的なものである。

Here’s an example. You 3bet AQs on the BB and face a 25bb 4bet from the BTN. You have 3 choices: fold, call or shove. If you look at the EV of these options in GTO Wizard, you’ll see something like this:
以下はその例です。あなたはBBでAQsを3ベットし、BTNから25bbの4ベットに直面した。あなたには3つの選択肢がある：フォールド、コール、ショッブ。GTOウィザードでこれらの選択肢のEVを見ると、次のような表示になります。

As measured from your decision facing the 4bet: Folding is 0bb, calling is 4.02bb, and shoving is 2.58bb. These numbers above can be misleading. It makes it seem like calling and shoving are both “profitable”.
4betに直面した時の判断から測ると。フォールディングは0bb、コーリングは4.02bb、ショッビングは2.58bbです。上記の数字は誤解を招く可能性があります。コールもショッビングも「儲かる」ように見えてしまうのです。

If you instead measure EV relative to your stack at the start of the round:
その代わり、ラウンド開始時のスタックに対してEVを測定する場合。

Folding is -11bb, calling is -6.98bb (4.02 better than folding), and shoving is -8.42bb (2.58 better than folding).
フォールドは-11bb、コールは-6.98bb（フォールドより4.02倍）、ショッビングは-8.42bb（フォールドより2.58倍）となっています。

So regardless of how you look at it, calling is the best option, and it’s better than folding by exactly 4.02bb. But you need to realize that you’re deciding between 3 losing actions and trying to find the one that loses the least! It’s important to recognize this concept to put EV into context. These marginal “try and lose the least” spots constantly happen in poker.
つまり、どう考えてもコールが最善の選択であり、フォールドするよりもちょうど4.02bbだけ良いということだ。しかし、あなたは3つの負けるアクションの中から、最も負けの少ないアクションを選んでいるのだということを認識する必要があります。この概念を認識することは、EVを文脈に置くために重要です。ポーカーでは、このような「最小限の損失ですむようにする」という限界点が常に発生します。

EV Units of measurement

EV 測定単位
There are many different ways to measure EV. The most common way is to measure it in “bb” or “big blinds”. However, you can also measure EV in chips or pot share. For example, if you expect to win 3bb, and the pot is 5bb, you could say you have 60% EV (as measured by pot share, the same way we measure EQ). One result of this measurement is that you can have greater than 100% EV. This simply means you expect to win the pot and then some, in the long run.
EVの計測には様々な方法があります。最も一般的な方法は、「bb」または「ビッグブラインド」で計る方法です。しかし、チップやポットシェアでEVを計ることもできます。例えば、あなたが3bb勝つと予想し、ポットが5bbであれば、あなたは60%のEVを持っていると言えます（ポットシェアで測定、EQの測定方法と同じです）。この測定の結果、100%以上のEVを持つことも可能です。これは単純に、長い目で見て、ポットを獲得し、さらにそのポットを獲得することが期待できることを意味します。

Measuring your EV as a percentage has the benefit of putting things into perspective. For example, is 2bb a lot? Well, if the pot is 1000bb it’s extremely marginal, but if the pot is 5bb then it’s significant.
EVをパーセンテージで計測することで、物事を客観的に見ることができるというメリットがあります。例えば、2bbは多いですか？もしポットが1000ベットなら、それは非常にわずかなものですが、もしポットが5ベットなら、それは重要なものです。

Tournament players must take an additional step and transform their EV into tournament value using something like ICM, DCM, or FGS. We’ll discuss the complications of transforming chip-EV into tournament-EV in later articles.
トーナメントプレイヤーはさらに一歩進んで、ICM、DCM、FGSのようなものを使ってEVをトーナメントバリューに変換する必要があります。チップEVからトーナメントEVへの変換の複雑さについては、後の記事で説明します。

EV defined

EVの定義
The expected value is a weighted average that encompasses all future actions. The simplest definition looks like this:
EV = (Outcome1 probability x Outcome1 payoff) + (Outcome2 probability x Outcome2 payoff) + (Outcome3 probability x Outcome3 payoff)…

The box method:
期待値とは、将来のすべての行動を包含する加重平均値である。最も単純な定義は次のようなものである。
EV = (結果1の確率 x 結果1のペイオフ) + (結果2の確率 x 結果2のペイオフ) + (結果3の確率 x 結果3のペイオフ)...

ボックス法である。

  • List all the possible outcomes. (Make the boxes)
    起こりうる結果をすべて挙げてください。（箱を作る）

  • Find the probability and payoff of each outcome. (Fill the boxes)
    各結果の確率とペイオフを求めよ。(枠内を埋める)

  • Put it all together in an equation and work it out. (Solve the boxes) 方程式にまとめて、計算する。(箱を解く)

Calculation examples

計算例

Example 1:

例1．
Let’s start with a simple example. Let’s say you’re facing a pot-sized shove with a 25% equity draw. If you call there are two possible outcomes, you win or you lose. If you win, you’ll gain the pot, and your opponents bet. If you lose, you’ll lose a pot-sized bet…

Win: 25% (+2 pot)

Lose: 75% (-1 pot)
簡単な例から始めましょう。例えば、あなたが25%のエクイティドローでポットサイズのショブに直面しているとします。もしあなたがコールすれば、勝つか負けるかの2つの可能性があります。もし勝てば、あなたはポットを獲得し、相手はベットします。負けた場合、あなたはポットサイズのベットを失うことになります...

勝ち: 25% (+2 ポット)

負け: 75% (-1 ポット)

EV = (25% x 2) + (75% x -1) = -0.25 pot

Clearly, this is not a good call as you’d lose 25% of the pot on average.
明らかに、平均してポットの25％を失うことになるので、これは良いコールではありません。

Example 2:

例2.
Now let’s imagine your opponent shoves half-pot, and you have 35% equity. You’re risking half a pot to win 1.5 pots (your opponent’s half-pot bet + the pot).
ここで、相手がハーフポットをショッブし、あなたのエクイティが35％だとします。あなたは1.5ポット（相手のハーフポットベット＋ポット）を獲得するために、ハーフポットのリスクを負っていることになります。

EV = (35% x 1.5) – (65% x 0.5) = +0.2 pot , winning 20% of the pot on average.

EV = (35% x 1.5) - (65% x 0.5) = +0.2 ポット , 平均して20%のポットを獲得。

Example 3:

例3.
Let’s get a little more complex. We have the option to bet pot (10bb) on the river with top pair, but our opponent might shove and force us to fold.
もう少し複雑にしてみましょう。トップペアでリバーにポット（10bb）を賭ける選択肢もありますが、相手が突っ込んできてフォールドせざるを得ないかもしれません。

Equity when checking back: 70%
チェックバック時のエクイティ：70

Equity when we get called: 55%
コールした時のエクイティ55%

Opponent will shove (and we’ll fold) 20% of the time
相手は20％の確率でシャブる（そして我々はフォールドする）。

Opponent will fold 50% of the time
相手は50％の確率でフォールドする

Opponent will call 30% of the time
相手が30％の確率でコールする

Is value betting too thin?
バリューベットは薄すぎる？

Payoff when we bet and get called = (55% * 20bb) + (45% * -10bb) = +6.5bb
Payoff when they fold = +10bb
Payoff when they raise = -10bb
こちらがベットしてコールされた場合のペイオフ＝(55% * 20bb) + (45% * -10bb) = +6.5bb
フォールドされた時のペイオフ = +10bb
レイズされた時のペイオフ = -10bb

EV bet = (fold% x 10bb) + (call% x 6.5bb) + (raise% x -10bb)
EV bet = (50% x 10bb) + (30% x 6.5bb) + (20% x -10bb) = +4.95bb 
EVベット = (フォールド% x 10bb) + (コール% x 6.5bb) + (レイズ% x -10bb)
EVベット = (50% x 10bb) + (30% x 6.5bb) + (20% x -10bb) = +4.95bb

Hooray, the bet is +EV! That means we should bet right?! No. You need to weigh your options.
万歳！ベットは+EV!ということは、賭けるべきなのか！？いいえ、選択肢を検討する必要があります。

Checking back has 70% equity, which means we win 70% of the pot (7bb).

EV (bet) = +4.95bb
EV (check) +7.00bb

チェックバックは70%のエクイティ、つまりポットの70%(7bb)を獲得することになります。

EV (ベット) = +4.95bb
EV (チェック) +7.00bb

Betting loses 3.05bb of value since we’ll often get bluffed off our equity, fold worse and get called by better. Checking is clearly the best option here!
ベットすると3.05bbの価値が失われる。なぜなら、ブラフでエクイティを削られ、フォールドが悪くなり、より良い相手からコールされることが多いからだ。ここではチェックするのが明らかにベストな選択だ

The full diagram looks like this:
全図はこのようになります。

Deriving other poker metrics from EV

EVから他のポーカー指標を導き出す

Every poker metric you’ve ever heard of can be derived from an expected value equation!
ポーカーの指標はすべて、期待値の方程式から導き出すことができるのです。

Let’s start with pot odds. Pot odds refer to how much equity you need to call a bet. For example, let’s say OOP bets half-pot on the river. How much equity would IP need to make this call?
まず、ポットオッズから始めましょう。ポットオッズとは、ベットをコールするためにどれだけのエクイティが必要かを意味します。例えば、OOPがリバーでハーフポットを賭けたとします。IPはこのコールをするためにどれだけのエクイティが必要でしょうか？

The classic way to solve this is to use the simple equation:
これを解くには、古典的な方法として、簡単な方程式を使う。

Required equity = (call) / (pot after you call)
必要勝率＝（コール）／（コール後のポット）

For a halfpot bet: 0.5 / 2 = 25%; IP needs at least 25% equity to call this bet. Another way to say this is that IP needs to recoup at least as much money as they put into the pot.
ハーフポットベットの場合、0.5 / 2 = 25%、IPはこのベットをコールするために少なくとも25%のエクイティが必要です。別の言い方をすれば、IPはポットに投入した金額と少なくとも同じだけのお金を回収する必要がある、ということです。

However, this can also be calculated using the expected value. The benefit of this method is that it allows you to calculate more than just the break-even point. You can see exactly how much you’d gain or lose given some bet size and a certain amount of equity.
しかし、これは期待値を使って計算することもできます。この方法の利点は、損益分岐点以上のものを計算できることです。あるベットサイズと一定のエクイティがあった場合、どれだけの利益または損失になるかを正確に把握することができます。

EV = (Win% x $Won) – (Lose% x $Lost)

  • $Won = 1.5 (the pot plus villain’s half pot bet)
    ウォン＝1.5（ポット＋ヴィランのハーフポットベット）。

  • $Lost = 0.5 (the amount to call) $Lost = 0.5 (コールする金額)

  • Win% = EQ

  • Lose% = 1-EQ

EV = (EQ x 1.5) – ((1-EQ) x 0.5)

We can find the break-even point by setting EV to 0:
EVを0にすることで損益分岐点を求めることができる。

  • 0 = (EQ x 1.5) – ((1 – EQ) x 0.5)

  • 1.5 EQ = 0.5 (1 – EQ)

  • 3 EQ = 1 – EQ

  • 4EQ = 1

  • EQ = ¼

  • EQ = 25%

In other words, you need 25% equity to break even.
つまり、収支を合わせるには25％の勝率が必要なのです。

Alpha – refers to how often the villain needs to fold for you to break even with a 0% equity bluff. The classic equation looks like this:
アルファ（Alpha）、エクイティ0%のブラフで収支を合わせるために、悪役がフォールドする頻度を指します。古典的な計算式は次のようなものである。

risk/(risk+reward)
リスク/(リスク＋リターン)

Where risk is the amount to bluff and reward is the pot you gain if they fold. For a half–pot bluff, the risk is 0.5 and the reward is 1.
0.5 / (0.5 + 1) = 33.3%
ここで、リスクはブラフをかける金額、リワードは相手がフォールドした場合に得られるポットです。ハーフポットのブラフの場合、リスクは0.5、リワードは1です。
0.5 / (0.5 + 1) = 33.3%

But what if they fold more or less? How profitable is the bluff then? Well, we can use an expected value equation to find out!
しかし、相手が多かれ少なかれフォールドしたらどうだろうか？その場合、ブラフはどの程度の利益をもたらすのでしょうか？それを知るには、期待値の方程式を使えばいいのです。

EV = (pot x fold%) – (bet x call%)

Now let’s derive alpha using EV:
では、EVを使ってαを導き出してみましょう。

Set EV to 0 in order to find the break-even point:
損益分岐点を求めるため、EVを0に設定します。

0 = (1 x fold%) – (0.5 x call%)
0 = fold% – (0.5 (1 – fold%))
fold% = (1 – fold%) / 2
2 fold% = 1 – fold%
3 fold% = 1
fold% = ⅓ = 33%

OOP MDF: Refers to the % of time OOP must call in order to prevent IP from having a profitable bluff with a 0% equity hand. We won’t go through the exact derivation as this is just equal to 1-alpha which we’ve already calculated above.
OOP MDF。OOPが0%のエクイティハンドでIPのブラフを防ぐためにコールしなければならない回数のことである。これはすでに上で計算した1-αに等しいので、正確な計算はしない。

MDF = pot/(pot+call)
MDF = 1 / (1 + 0.5) = 66.6%
Or simply 1- alpha.

Conclusion
結論

The art of valuing a hand is nuanced, complex, and can take a lifetime to master. Expected value is a key metric to every poker decision you’ll ever make.
ハンドを評価する技術は微妙で複雑であり、習得するのに一生かかるかもしれません。期待値は、あなたがポーカーで行うすべての決断の鍵となる指標です。

Does this mean you need to be performing complex math in your head at the table? No, of course not, poker is more intuitive in practice. But you do need to understand how EV works in order to correctly think through your decisions, understand solvers, or do proper off-table analysis. Having worked through different scenarios off the table gives you a much better sense of what is and is not a good strategy.
これは、テーブルで頭の中で複雑な計算をする必要があるということでしょうか？いいえ、もちろんそんなことはありません。ポーカーは実際にはもっと直感的なものです。しかし、自分の判断を正しく行い、ソルバーを理解し、テーブル外で適切な分析を行うために、EVの仕組みを理解する必要があります。テーブルの外で様々なシナリオを経験することで、何が良い戦略で、何が悪いかをより良く理解できるようになります。

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